Пример решения задания К1

По заданным уравнениям движения точки

x(t) = 1- 3cos πt/6, y(t) = 2sin πt/6

(координаты х и у измеряются в см, время в секундах)найти уравнение траектории точки, ее скорость, нормальное, касательное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории для момента времениt₁=1с. На рисунке изобразитьтраекторию и для заданного момента времени t₁=1с в выбранном масштабе построить векторы скорости и ускорения точки.

Решение

1. Нахождение траектории движения точки М

Для нахождения уравнения траектории, по которой движется точка, следует из уравнений движения исключить время. Исключим из заданных уравнений движения параметрt(время),воспользовавшись известной формулой тригонометрии:

sin²α + cos²α = 1. (1)

Из уравнений движения точки выразим функции

cosπt/6 = иsinπt/6 = ,

возведем эти выражения в квадрат и согласно выражению (1) сложим. В результате получим уравнение траектории движения точки

+ = 1. (2)

Уравнение (2) представляет собой каноническое уравнение эллип­са, центр которого находится в точке с координатами х = 1 см, у = 0 см (рис.5.1). Траекторией движения точки является весь эллипс.

2. Построение траектории

Для построения на рисунке траектории движения точки М можно применить два подхода.

Первый подход предполагаетсначала нахождение уравнения траектории движения точки, а затем – по уравнению траектории путем задания числовых значений для одной координаты находятся значения другой координаты. По точкам, соответствующим найденным координатам, строится траектория.

Применение второго подхода предполагает использование для определения координат движущейся точки ее уравнений движения.В этом случае параметру tпридаютсязначения в некотором диапазоне, например, от немного меньших до немного больших значений по сравнению с заданным моментом времени t₁ (например, 0,7t₁,0,8t₁, 0,9t₁, 1,0t₁, 1,1t₁, 1,2t₁, 1,3t₁ и т.п.). По полученным для этих значений времени координатам х и у на рисунке ставятся точки, через которые проводится траектория.

Построим на рисунке траекторию точки. Для этого выберем масштаб, например, и произведем построения.

Рис. 1

Путем подстановки в уравнения движения точки заданного момента времени t₁=1 с определим положение точки на траектории

х_{t= 1 c.} = – 1,598 см,у_{t = 1 c.} = 1,0 см.

Рис. 2

3. Нахождение величины скорости точки

Для вычисления скорости точки, движение которой задано координатным способом, применяется формула

, (3)

где , − проекции вектора скорости точки на оси координат. Вычисляя производные от соответствующих уравнений движения точки по времени, получаем следующие формулы:

= ;

= .

Вычислим величины проекций вектора скорости на оси координат в момент времени t = 1 с.

см/с;

см/с,

а затем, подставляя величины , в (3), и величину скорости точки:

см/с.

Для того чтобы на рисунке построить вектор скорости точки, воспользуемся формулой

.

Выбираем масштаб и на рисунке из точки М параллельно осям координат в этом масштабе откладываем составляющие вектора скорости и , а затем проводим вектор (рис. 3).

Рис. 3

4. Нахождение величины вектора ускорения точки

Величина ускорения точки при задании ее движения координатным способом вычисляется по формуле

, (4)

где , – проекции вектора ускорения точки на оси координат.

= ;

= .

При t = 1 с имеем = см/с;

= см/с.

Тогда

= см/с².

Применив формулу , построим на рис. 4 вектор полного ускорения точки .

Рис. 4

Ниже на рис. 5 для момента времениt₁= 1 с показано положение точки Мна траектории и выполнены построения векторов скорости и ускорения точки.

Рис. 5

Вычислим проекции вектора ускорения на касательную (касательную составляющую вектора ускорения):

= = 0,285см/с²

и на главную нормаль (нормальную составляющую вектора ускорения):

= 0,66 см/с².

Из формулы получим выражение для определения радиуса кривизны траектории движения точки, а затем произведем вычисление для заданного момента времени:

3,41 см.

На рис. 6 выполнено разложение вектора ускорения точки на касательную и нормальную составляющие.

Рис. 6

Ответ: уравнение траектории движения точки + = 1;

величина скорости точки = 1,518см/с;

ускорения точки: − полное а= 0,717 см/с²;

− касательное = 0,285см/с²,

− нормальное = 0,66 см/с²;

радиус кривизны траектории точки = 3,41 см.

 

 

Динамика