Портфель с минимальным риском

Пусть целью инвестора является выбор портфеля с минимальным возможным риском, то есть необходимо так выбрать х₁ и х₂, чтобы величина риска портфеля была бы наименьшей. Эту задачу можно просто решить аналитически. Прежде всего, заметим, что для портфеля из 2-х активов всегда должно выполняться бюджетное ограничение

,

- сумма долей равняется единице. Значение х₂ мы можем выразить через х₁

.

Обозначим

Задачу выбора портфеля с наименьшим риском можно записать

. (6.9)

Запишем условие первого порядка для данной задачи (возьмем производ­ную по x и приравняем ее к нулю)

,

откуда, при условии, что знаменатель не равен нулю, получим

. (6.10)

Формула (6.10) дает возможность определить портфель, риск (стан­дарт­ное отклонение доходности) которого минимален.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Пусть r₁₂=-1 тогда

,

.

В этом случае риск портфеля равен нулю

.

То есть, если доходность первого актива снизится, для портфеля в целом это будет полностью компенсировано ростом доходности второго актива.

2. В случае, когда r₁₂=0, то есть какая-либо взаимосвязь между доходностью первого и второго актива отсутствует, портфель с наименьшим риском выбирается так:

, .

Стандартное отклонение такого портфеля будет равно. Если s₁<1 и s₂<1, риск портфеля будет меньше, чем риск каждого из отдельно взятых активов.

3. Когда r₁₂=1, оптимальный портфель выбирается следующим образом:

, .

Риск такого портфеля также равен нулю:

,

но существует важное отличие от случая, когда r₁₂=-1: при совершенной отрицательной корреляции оптимальные объемы инвестиций в каждый из активов были положительными. Здесь же, либо х*, либо 1-х* меньше нуля (причем, если х*<0, то (1-х*)>1, и наоборот). Отрицательный объем инвестиций означает короткую продажу - когда продается актив, взятый в долг с обязательством последующего возврата. Следовательно, в случае положительной корреляции, для того, чтобы получить портфель с минимальным риском, необходимо коротко продать один из активов, и инвестировать все имевшиеся и вырученные за счет короткой продажи средства во второй актив.

Хеджирование

Полученные выше результаты позволяют сделать очень важный вывод: чем больше степень статистической взаимосвязи между доходностью двух активов, тем больше возможностей по снижению риска путем комбинации инвестиций в эти активы (формирования портфеля), - другими словами тем более эффективна диверсификация, предпринимаемая с целью снижения риска. Данный факт лежит в основе стратегии хеджирования.

Хеджирование представляет собой стратегию снижения риска, при которой инвестор, для того, чтобы обезопасить себя от возможных потерь, связанных с инвестированием в некоторый актив, одновременно инвестирует в другой актив, доходность которого негативно коррелирована с доходностью первого.

В качестве примера рассмотрим ту же задачу выбора портфеля, но в несколько измененном виде.

Пусть инвестор владеет одной единицей некоторого актива, который принесет ему единиц чистого дохода на протяжении планового горизонта. Обозначим через x объем инвестиций в этот актив: .

Доходность z является случайной вeличиной. Предположим, что она может быть как положительной, так и отрицательной. Пусть инвестор желает обезопасить себя от риска потери стоимости своего актива - тех случаев, когда z окажется отрицательной. Для этого он инвестирует средства в другой актив, доходность которого h также случайна, но связана отрицательной статистической взаимосвязью с доходностью первого актива. Обозначим через h объем инвестиций во второй актив. Суммарная ожидаемая доходность инвестиций (портфеля) будет составлять

.

Риск портфеля будет равен

. (6.11)

Риск будет минимальным, если, исходя из условий первого порядка минимума функции (6.11), выполняется равенство

,

или

, (6.12)

где rzh - коэффициент корреляции случайных величин z и h.

Величина h, рассчитанная по формуле (6.12) называется коэффициентом хеджирования с минимальным риском. Заметим, что если

r_zh=-1,

то h=1, то есть хеджирование будет обеспечивать минимальный риск, если в портфеле каждой единице средств, инвестированных в первый актив, будет соответствовать ровно одна единица инвестиций в актив, используемый для хеджирования. Хеджирование в пропорции «один к одному» называют еще «наивным хеджем», так как коэффициент хеджирования с минимальным риском равен единице лишь в случае абсолютной отрицательной взаимосвязи между доходностью двух активов.