Способы решения иррациональных уравнений

Курсовая работа

по дисциплине элементарная математика

тема: «Методы и приемы решения иррациональных уравнений с параметром»

 

Выполнил студент 11 группы 1 курса _

Направление подготовки: Педагогическое образование

Профиль: математика и информатика

Агеева Екатерина Сергеевна

 

Научный руководитель:

ст. преподаватель Высоцкая П.А.

Дата защиты: «07» июня 2018г.

Оценка: ___________________________

_______________________________

(подпись научного руководителя)

Регистрационный номер ________

Дата регистрации ______________

Москва 2018

Оглавление

Введение. 3

§1. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.. 4

1.История возникновения. 4

2.Способы решения иррациональных уравнений. 5

3.Сущность решения задач с параметром. 13

4.Основы решения уравнений с параметром. 17

§ 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ 19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 37

ЛИТЕРАТУРА.. 38

 

 

 

Введение

В школьном курсе алгебры мы рассматривалиразные виды уравнений: линейные, квадратные, кубические, уравнения с параметрами, иррациональные и множество других. Эта курсовая работа посвящена иррациональным уравнениям, которые содержат в себе параметр.

Изучение многочисленных физических и геометрических закономерностей зачастую приводит к решению уравнений, включающих параметр.

Задачи и уравнения, включающие параметр, развивают логическое мышление.

Трудности этого типа уравнений: множество формул и способов, применяемых при решении уравнений данного вида; возможность решения одного и того же уравнения, включающего параметр, разными методами.

Целью курсовой работы является изучение методов и приемов решения различных иррациональных уравнений, содержащих параметр.

Для достижения данной цели нам необходимо выделить следующие задачи:

1) Выявить основные положения теории решения иррациональных уравнений, содержащих параметр;

2) Классификация методов решения;

3) Разобрать примеры решения иррациональных уравнений с параметром

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

История возникновения

“Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи; ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней…; они же разве только в частных случаях могут быть сведены к рациональностям”.

(Лейбниц Г.)

Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи обширно использовали шестидесятеричные дроби, арифметические действия с которыми они именовали «арифметикой астрономов». Согласно аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в своей работе «Ключ арифметики» внедрил десятичные дроби, которые он применял с целью повышения точности извлечения корней. Вне зависимости от него, по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в собственных «приложениях к алгебре» (1594 г.) выявил, что десятичные дроби можно применять с целью бесконечно близкого приближения к действительному числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась концепция о том, что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби. Возникновение «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением различных отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимостью расширения определения рационального числа. В числовой оси иррациональные числа, равно как и рациональные, представляются точками. Данное геометрическое объяснение позволило лучше понять природу иррациональных чисел и поспособствовало их признанию.

В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа основывается на идееал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Но объяснение свойств действительных чисел и полная теория их были разработаны только в XIX в.

Знак корня (знак радикала) — условное обозначение для корней, по умолчанию квадратных. В общем случае (для корней n-й степени) показатель степени ставится над «птичкой»: знак используется для кубических корней, — для корней 4-й степени и т. п.; для квадратного корня также можно использовать «полное» обозначение.

Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной в лат. radix — корень), сросшейся с надстрочной чертой: в старину надчёркивание выражения использовалось вместо нынешнего заключения его в скобки, так что есть всего лишь видоизменённый древний способ записи чего-то вроде .

Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.

Способы решения иррациональных уравнений

Уравнение– это равенство видаf( = g( , где, чаще всего, в качестве f и g выступают различные функции.
Можно сформулировать данное определение несколько по-иному:

Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений.

Уравнения подразделяются на 2 большие группы: алгебраические и трансцендентные. Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения применяются только лишь алгебраические действия – 4 арифметических, а также возведение в степень и извлечение натурального корня.

Более подробно мы будем рассматривать иррациональные уравнения.

Иррациональным уравнением называют такое уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или возведенная в дробную степень.

К иррациональным уравнениям относятся уравнения такого вида:

= B(x), = , где A(x) и B(x) – выражения с переменной.

Основной идеей решения иррационального уравнения является сведении данного уравнения к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо - его следствие. Главным способом для избавления от корня и получения рационального вида уравнения – это возведение обеих частей данного уравнения в одну и ту же степень, которая имеет корень, включающий неизвестное, и дальнейшее «освобождение» от радикалов по формуле: =

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и избавиться от радикалов, в таком случае выйдет уравнение, равносильное исходному уравнению. При возведении уравнения в четную степень получают уравнение, являющееся следствием исходного. По этой причине вероятно появление посторонних решений уравнения. Причина приобретения корней заключается в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но различных по знаку, получается один и тот же результат. Отметим, что потеря корней при возведении уравнения в четную степень невозможна.

Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение.

Рассмотрим применение данного метода для решения иррациональных уравнений вида: = B(x)

Например, решим иррациональное уравнение: = 2x+5

Решение: Нам необходимо сначала возвести обе части в квадрат. Это действие мы производим для того, чтобы избавиться от радикалов.

Благодаря этому, уравнение приобретет привычный нам с Вами вид и решить его нам не составит особых трудностей:

6 – 3x = 4 + 20x + 25

Перенесем все в правую сторону и приравняем к нулю:

4 + 20x + 3x – 6 + 25 = 0

4 + 23x + 19 = 0

Получили привычное нам квадратное уравнение. Решить его можно с помощью нахождения дискриминанта, либо с помощью теоремы Виета. Воспользуемся дискриминантом:

D = - 4ac = 529 – 4 ⸳ 4⸳ 19 = 529 – 304 = 225;

= ±15;

;

= -4,75; = -1;

Выполним проверку: подставим значение (-4,75) в наше исходное уравнение:

= -9,5 + 5;

= -4,5 – неверно, соответственно значение (-4,75) не подходит.

Подставим значение (-1):

= -2 + 5

3 = 3 – верно, соответственно значение (-1) является корнем данного иррационального уравнения.
Ответ: -1

Для ясности, рассмотрим еще один пример:

Решение: Для упрощения уравнения возводить обе стороны в квадрат не нужно, достаточно ввести новую переменную, а точнее – сделать замену.

Уравнение становится таким:

y + = 4

Умножим все на y и перейдем к квадратному уравнению:

+ 4 = 4y

- 4y + 4 = 0

Теорема Виета дала нам одинаковые корни:

= 2

Теорема Виета: если и – корни квадратного уравнения ,то сумма корней равна отношению коэффициентов b и a, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов c и a, то есть, , =

Вернемся к нашей замене и найдем решение:

= 2

= 4

Умножим на x, чтобы могли избавиться от знаменателя:

x + 5 = 4x

x =

Данный ответ удовлетворяет наше равенство, соответственно ответ

Рассмотрим уравнение 4x+ - 5 = 0

Решение:

Конечно, можно решить это уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но можно решить и другим способом – методом введения новых переменных.

y =

Введем новую переменную. Тогда получим 4y²+y–5=0 – квадратное уравнение относительно переменной y. Найдем его корни:

Так как y= , а , соответственно, не является корнем данного уравнения.

Ответ: 1

Рассмотрим еще один способ решения иррациональных уравнений.

+ = 3x (1)

Решение:

Умножим обе части заданного уравнения на выражение

= - – сопряженное левой части исходного уравнения.

( + )( - ) =

= ( ( ) = 6x

6x = 3x( - )

x( - - 2 ) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом известен. Тогда x1=0.Остаётся решить уравнение:

- = 2 (2)

Сложив уравнения (1) и (2), придём к уравнению:

2 = 3x + 2

Решим это уравнение методом возведения в квадрат двух сторон:

8x² + 12x + 20 = 9x² + 12x + 4

-x² + 16 = 0

x² = 16

x = ±4

Проверка:

+ = 3x

, ,

+ = 3⸳0

2 -неверное равенство,значит 1 не является корнем уравнения.

+ = 3⸳4

+ = 12

12 = 12 – верное равенство, соответственно 4 – корень уравнения.

+ = 3⸳(-4)

+ = -12

12 = - 12 – неверное равенство, соответственно -4 –не является корнем уравнения.

Ответ: 4

В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство:

Докажем, что уравнение f(x) = g(x)+q(x) (1)
равносильно уравнению

f(x) – q(x) = g(x) (2)

Пусть х=а – корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство f(a)=g(a)+q(a) . Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f(a)-q(a)=g(a) показывающее, что а – корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1).

Что и требовалось доказать.

Теорема 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство: Обозначим через Т1 - множество решений уравнения (1), а через Т2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т1 = Т2. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т2 является корнем урав­нения (1).

Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда a * Т1, и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a) = g(a), а выражение h(х) обращает в числовое выражение h(a), имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинного равенства f(a) = g(a) числовое выражение h(a). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенст­во f(a) + h(a) = g(a) + h(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т1 с T2.

Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а * T2 и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(a) + h(a) = g(a) + h(a). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение -h(a), Получим истинное числовое равенство f(х) = g(х), которое свидетельствует о том, что число а - корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е. T2 с Т1.

Так как Т1 с Т2 и Т2 с Т1, то по определению равных множеств Т1 = Т2, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.

Что и требовалось доказать.