Докажем, что если частное двух натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Раздел I. Математика и элементы логики.

Аксиоматическое определение деления целых неотрицательных чисел; свойства деления.

При аксиоматическом построении теории целых неотрицательных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а : b = с тогда и только тогда, когда b c = а.

Число а : b называется частным чисел а и b, число а – делимым, число b – делителем.

Теорема. Частное двух чисел существует и оно единственно.

Докажем, что, для того, чтобы частное двух натуральных чисел а и b существовало, необходимо, чтобы b a.

Доказательство. Пусть частное двух натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число с, что b c = a.

Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 с, то умножив обе его части на натуральное число b, получим b b с. Но b c = a, следовательно, b a.

Докажем, что если частное двух натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство. Предположим, что существует два различных значения частного чисел а и b: a : b = c и a : b = c . Тогда, по определению разности, имеем: a = b c и a = b c . Отсюда следует, что b c = b c и значит c = c . Мы пришли к противоречию с нашим предположением. Следовательно, значение частного чисел a и b единственно.

Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0. Рассмотрим случай, когда а 0. Предположим, что частное такого числа и нуля существует. Тогда, по определению деления, имеем а = с 0, откуда а = 0. Пришли к противоречию. Значит, частное чисел а 0 и b = 0 не существует.

Правило деления разности на число. Для того чтобы разделить разность на число, достаточно разделить это число на уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе. Пусть числа а и b делятся на число с, то и их сумма а – bделится на с, т.е. (а – b) : с = а : с – b : с.

Правило деления числа на произведение. Для того чтобы разделить число на произведение, достаточно это число разделить на один множитель, а затем полученное частное разделить на другой множитель. Пусть натуральное число а делится на натуральные числа b и с, то а : (b c) = (a : b) : c = (a : c) : b.

Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т.е. a (b : c) = (a b): c.

Правило деления произведения на число. 1.Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение а b делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения а b на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, и числа b : (а b) : с = (а : с) b.

Доказательство. Так как число а делится на число с, то существует натуральное число х = а : с, что а = с х. Умножив обе части этого равенства на b, получим а b = (c x) b. Поскольку умножение ассоциативно, то (c x) b = c (x b). Отсюда (а b) : с = (а : с) b.

2. Чтобы разделить произведение нескольких целых неотрицательных чисел на натуральное число, достаточно один из множителей разделить на это число и полученное частное умножить на оставшиеся множители, т.е., если а : n, то (a b c) : n = (a : n) b c

Разделить натуральное число а на натуральное число b с остатком – это значит найти такие натуральные целые числа q и r, что а = b q + r, где 0 r < b.

Из этого определения следует, что делить с остатком можно не только большее число на меньшее, но и меньшее на большее. Например, при делении числа 6 на 9 получаем неполное частное, равное 0, а остаток равен 6: 6 = 9 0 + 6. Вообще, если a < b, то при делении числа а на b с остатком получаем q = 0 и r = а.

Теорема. Каковы бы ни были целое число a и целое число b ≠ 0, всегда возможно, и притом, единственным способом, разделить a на b c остатком.

Доказательство: Пусть a ≥ 0, b ≥ 0. Докажем возможность деления с остатком. Рассмотрим множество всех натуральных чисел, которые делятся на b, расположив их в порядке возрастания b