II. Критерий U- Манна-Уитни

ОСЬ ЗНАЧИМОСТИ

Для принятия решения, какую гипотезу выбрать, используют ось значимости.

зона незначимости зона неопределенности зона значимости

Н_о р≤0,05 р≤0,01 Н₁

К_крит К_крит

 

К_крит находятся по таблице критических значений, которые есть для каждого критерия.

 

СОПОСТАВЛЕНИЕ СОВОКУПНОСТЕЙ
ПО УРОВНЮ ПРИЗНАКА

I. Критерий Q Розенбаума

Для вычисления Q_эмп по данным выборок находят S₁ – количество значений в выборке 1, которые выше максимального значения в выборке 2, и S₂ - количество значений в выборке 2, которые ниже минимального значения в выборке 1.

Q_эмп= S₁+ S₂.

Q_кр находим по таблице критических значений в зависимости от n₁ и n₂.

Далее с помощью оси значимости определяем, какую гипотезу принять, а какую отвергнуть.

зона незначимости зона неопределенности зона значимости

Н_о р≤0,05 р≤0,01 Н₁

Q_крит Q_крит

 

Графически данный критерий Q можно представить следующим образом:

а) б) в)

Рис.1.

ОграниченияQ-критерия Розенбаума:

 

1. В каждой из выборок не менее 11 испытуемых, при этом n₁ ≈ n₂:

a) если n_1, n₂ ≤ 50, то/ n₁- n₂/≤10;

b) если 51 ≤ n_1, n₂ ≤ 100, то/ n₁- n₂/≤20;

c) n_1, n₂ ≥ 100, то n₁/ n₂ ≈ 1,5 – 2 раза.

2.Диапазоны разброса значений в двух выборках не должны совпадать.

3. При n₁, n₂ > 26 полученное эмпирическое значение сопоставлять с Q_кр=8 (р≤0,05) и Q_кр=10 (р≤0,01).

 

II. Критерий U- Манна-Уитни

В отличии от критерия Q этот метод используют, когда ряды «налагаются» частично друг на друга.

Графически данный критерий можно представить следующим образом:

а) б) в)

Рис.2.

 

При применении критерия:

1) упорядочить значения признака,

2) необходимо их проранжировать, одновременно оба ряда.

3) подсчитать сумму рангов отдельно для каждой выборки, сравнить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

4) рассчитать U_эмп

U_эмп= n₁ n₂ + - R_x,

где R_x – большая из двух ранговых сумм, а n_х – объем выборки с большей ранговой суммой.

5) U_кр найти по таблице критических значений в зависимости от n₁ и n₂.

6) с помощью оси значимости определить, какую гипотезу принять, а какую отвергнуть. Но так как, чем меньше U_эмп, тем более достоверны различия, зоны на оси значимости поменяются местами. Этот критерий – исключение.

зона значимости зона неопределенности зона незначимости

Н₁ р≤0,01 р≤0,05 Н₀

U_крит U_крит

Ограничениякритерия:

1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений; допускается в одной 2 наблюдения, но тогда во второй не менее 5.

2. В каждой выборке n₁,n₂≤60 (из-за сложности ранжирования большого количества данных).

 

Пример. Две группы испытуемых решали задачу. Показателем успешности служило время решения. Одна из групп получала дополнительную мотивацию в виде денежного вознаграждения. Вопрос: влияет ли денежное вознаграждение на успешность решения задачи?

 

группа без доп. мотвац.															суммы
	111,5
ранги R1	4,5	6,5		11,5		15,5
группа с доп мотвац.																106,4
ранги R2				4,5	6,5		11,5	11,5	11,5	15,5	20,5	20,5	22,5	22,5

 

 

Гипотезы:

H₀: решение задачи в группе с дополнительной мотивацией не успешнее, чем в группе без мотивации.

H₁: решение задачи в группе с дополнительной мотивацией успешнее, чем в группе без мотивации.

n₁=12, n₂=14, N=26.

 

1. Критерий Q Розенбаума.

n₁, n₂ >11. / n₁ - n₂ /<10.

S₁=3, S₂=3. Q_эмп=3+3=6.

По таблице критических значений по n₁=12, n₂=14 находим

7 (р≤0,05)

Q_кр=

9 (р≤0,01)

Н_о р≤0,05 р≤0,01 Н₁

6 7 9

По оси значимости делаем вывод:

принимается гипотеза H₀ - решение задачи в группе с дополнительной мотивацией не успешнее, чем в группе без мотивации.

2. Критерий U Манна-Уитни

Проранжируем два ряда значений.

Общая сумма рангов 189+162=351.

Расчетная сумма Σ R = N(N+1)/2=26(26+1)/2=351.

Тогда

U_эмп=12 14+ - 189=57.

По таблице критических значений по n₁=12, n₂=14 находим

51 (р≤0,05)

U_кр=

38(р≤0,01)

По оси значимости делаем аналогичный вывод, как и в первом случае, что принимается гипотеза H₀ - решение задачи в группе с дополнительной мотивацией не успешнее, чем в группе без мотивации.

Н₁ р≤0,01 р≤0,05 Н₀

 

38 51 57

 

группа без доп. мотвац.															суммы
	111,5
ранги R1	4,5	6,5		11,5		15,5
группа с доп мотвац.																106,4
ранги R2				4,5	6,5		11,5	11,5	11,5	15,5	20,5	20,5	22,5	22,5