Свойства определенных интегралов (св.8-9).

8) Если f(x) интегрируема на [a,b]. M-наибольшее, m-наименьшее значения функции f(x) на [a,b], то интеграл с

Доказательство:

Рассмотрим две функции ,

По свойствам интеграла следует,

Учитывая, , , получаем требуемое.

Наша площадь больше, чем но меньше .Название свойства – оценка интеграла.

9) Теорема о среднем для о.и.

1. f(x) интегрируема на [a,b] и заключается в

2. Если f(x) непрерывна на[a,b] , то

Доказательство:

По свойству 8

Если f(x) непрерывна, то она хотя бы раз примет каждое значение из промежутка [m,M]. Следовательно, при некотором она примет и значения

Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

1) О.и. с переменным верхним пределом

Пусть f(x) интегрируема на [a,b], тогда она будет интегрируема на промежутке [a,x], где x любое из [a,b].

Заменив в о.и. верхний предел b на x получим выражение , которое будет являться функцией от x.

Свойства функции f(x):

1. Если f(x) подынтегральная функция интегрируемая на [a,b], то Ф(x) будет непрерывной функцией от x в [a,b].

Доказательство:

Зададим переменной x некоторое приращение (h выбираем так, чтобы )

Получим новое задание функции

. Применим к интегралу теорему о среднем(свойство 9)

(1) , где наибольшее, наименьшее значение промежутка [x,x+h]. Тогда выполняется, что . Устремив h к 0 получим, что , ( ), что и доказывает непрерывность функции.

2. Если f(t) непрерывна в точке t=x, то имеет производную в этой точке равную f(x)

Доказательство:

Итак, согласно формуле (1) , где . Т.к. f(t) непрерывна при t=x, то можно подобрать такое . То есть

, значит . , значит

Вывод:Если f(x) непрерывна во всем [a,b], то она интегрируема и по свойству 2 для любой точки x из [a,b]. Значит, что производная от интеграла равна значению подынтегральной функции в точке x.

Итак, для непрерывной в [a,b] функции всегда существует первообразная. Примером ее является о.и. с переменным верхним пределом.

2) аналогично вводится интеграл с переменным нижним пределом. Изучать его свойства нет смысла, т.к. по свойству.

Основная формула интегрального исчисления.

Пусть f(x) непрерывна на [a,b], тогда будет являться первообразной функцией для f(x), т.к. ( ). Если теперь F(x) любая первообразная для f(x), то . Для определения с(const).

x=b (*)

Формула Ньютона-Лейбница. Основная формула интегрального исчисления.

Значение о.и. выражается разностью двух значений при x=a и x=b. Если применить теорему о среднем и учтем, что , то получим, что

Получили формулу для конечных приращений Лагранжа для F(x). Таким образом, основная формула (*) устанавливает связь между теоремой о среднем, дифференциальным и интегральным исчислении.