Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Биения.

Физический маятник. Математический маятник.

Ф.м.-это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.

F_τ – возвращающие силы

Ḿ=J*έ

M=J*ε

M=F_τ*l=-mglsinα=-mglα (sinα≈α)

Получено линейное дифференциальное однородное уравнение 2-го порядка.

(собственная частота)

(Дифференциальное уравнение гармонических колебаний для физического маятника)

Период колебания физического маятника.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде

где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d = const — коэффициент затухания, w₀ — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при d = 0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнениярассмотрим в виде

где u = u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (2)и подстановки их в (1) получим

(решение уравнения 1 в случае малых затуханий)

— А - амплитуда затухающих колебаний, а A₀— начальная амплитуда.

Промежуток времени t = 1/d, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

период

декремент затухания

логарифмический декремент затухания(N_e -число колебаний совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз)

добротность

Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Биения.

Сложим гармониче­ские колебания одного направления и оди­наковой частоты.

Так как векторыА1 и А2 вра­щаются с одинаковой угловой скоростью w₀, то разность фаз (j₂-j₁) между ними остается постоянной.

х=х₁+х₂=Аcos(w₀t+j)

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (j₂-j₁):

1) j₂-j₁=±2mp (m = 0, 1, 2,...), тог­да A=A₁+A₂, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме ампли­туд складываемых колебаний;

2) j₂-j₁= ±(2m+1)p (m=0, 1, 2,...), тогда A = │A₁-A₂│, т.е. амплиту­да результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых коле­баний.

Периодические изменения амплитуды колебания, возника­ющие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называ­ются биениями.

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2<<w, найдем

частота биений равна разности частот складываемых ко­лебаний: w_б=Dw.

T_б=2p/Dw период

Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гар­монического анализа сложного периодиче­ского колебания,илиразложения Фурье.

Члены ряда Фурье, определяющие гармо­нические колебания с частотами w₀, 2w₀, 3w₀,..., называются первой(или основной),

второй, третьей и т. д. гармоникамислож­ного периодического колебания.