Электрические цепи переменного тока.

Методические указания

Для выполнения контрольной работы

По дисциплине

«Электротехника и электроника»

 

 

для студентов всех форм обучения

направление подготовки 110800.62 “ Агроинженеры”

 

специальности 110301 ” Механизация сельского хозяйства”;

специальности 110303 “ Механизация переработки сельскохозяйственной продукции”;

специальности 110304 “ Технология обслуживания и ремонта машин в АПК”

 

 

Екатеринбург 2012

Электротехника и электроника. Методические указания для выполнения контрольной работы для студентов очного и заочного отделения (ГОС).

Екатеринбург, Уральская государственная сельскохозяйственная академия, 2012.-33с.

 

 

Составители: доктор физико-математических наук,

Профессор О.И.Клюшников

к.х.н., доцент О.В.Волкова,

ст.преподаватель Н.П.Ахмадуллина

 

Контрольные задания предназначены для закрепления и проверки знаний студентов при самостоятельной работе. Задания по дисциплине «Электротехника» включают контрольные работы по различным разделам программы.

Контрольные задания предназначены для специализаций: 110301 -”Механизация сельского хозяйства”;110303 - “ Механизация переработки сельскохозяйственной продукции”;110304 -“ Технология обслуживания и ремонта машин в АПК”

 

 

Рекомендовано к печати методической комиссией инженерного факультета УрГСХА

« 19 » марта 2012г. Протокол №7

 

Председатель

методической комиссии О.В.Явойская

 

© ФГБОУ ВПО «Уральская Государственная Сельскохозяйственная Академия» 2012 © О.И.Клюшников, О.В.Волкова, Н.П.Ахмадуллина, 2012

 

Введение

При изучении курса «Электротехника и электроника» особое место занимает умение решать задачи.

Задачи по электротехнике весьма разнообразны. Поэтому не представляется возможным предложить единую методику их решения. В данных методических указаниях рассмотрены задачи из разных тем курса. Все они решаются по-разному, но общие рекомендации одинаковы:

1. Уясните содержание задачи, изобразите электрическую схему цепи, выпишите заданные и искомые величины.

2. Проанализируйте схему электрической цепи: выясните возможности ее упрощения и наглядного изображения, уясните, сколько ветвей, узлов и независимых контуров она содержит.

3. Разметьте схему, т.е. обозначьте все ее узлы, покажите заданные и принятые направления ЭДС, напряжений и токов. Индексы токов в ветвях рекомендуется выбирать такими же, как у элементов данной ветви.

4. Составьте план решения задачи.

5.Обязательно сопровождайте решение задачи пояснительным текстом, т.е. указывайте законы, на основании которых составлены уравнения, смысл преобразований в схемах и формулах, последовательность действий, комментируйте полученные результаты.

6. Во избежание ошибок при числовых расчетах все значения величин подставляйте в формулы в основных единицах СИ (В, А, Ом, Гн и т.д.), для чего все производные единицы следует перевести в основные, например: I кВ= В, I мкФ= Ф и т.д.

7. Проанализируйте полученные в процессе решения задачи результаты: реальны ли найденные значения величин (КПД меньше единицы, сопротивление положительно), возможны ли подобные режимы, правильны ли единицы полученных физических величин и др.

8. Проверьте правильность поученных результатов каким-либо методом, например: решите задачу другим способом, составьте баланс мощностей и т.п.

 

Раздел I. Линейные электрические цепи

Методы общего анализа линейных

Электрических цепей.

Важным вопросом этого раздела является расчет распределения токов в сложных линейных цепях с несколькими источниками. Классическим методом расчета таких цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчета исходят из этих фундаментальных законов электротехники.

Рассмотрим сложную электрическую цепь (рис.1), которая содержит m (в данной цепи m=6) ветвей. Если будут заданы величины всех э.д.с. и сопротивлений, а по условию задачи требуется определить токи в ветвях, то мы будем иметь задачу с шестью неизвестными. Такие задачи решаются при помощи законов Кирхгофа. В этом случае должно быть составлено столько уравнений, сколько неизвестных токов.

Порядок расчета:

1. Если цепь содержит последовательные и параллельные соединения, ее упрощают, заменяя эти соединения эквивалентными.

2. Произвольно указывают направления токов во всех ветвях. Если принятое направление тока не совпадает с действительным, то при расчете такие токи получаются со знаком «минус».

3. Составляют (n-1) уравнений по первому закону Кирхгофа (n-число узлов).

4. Недостающие уравнения составляют по второму закону Кирхгофа, при этом обход контура можно производить как по часовой стрелке, так и против нее. За положительные э.д.с. и токи принимаются такие, направление которых совпадает с направлением обхода контура. Направление действия э.д.с. внутри источника всегда принимают от минуса к плюсу (см. рис. 1).

 

Рис.1 Рис.2

 

5. Полученную систему уравнений решают относительно неизвестных токов. Составим расчетные уравнения для электрической цепи, изображенной на рис. 1. Выбрав произвольно направление токов в ветвях цепи, составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b и c:

(1)

Приняв направление обхода контуров по часовой стрелке, составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для трех произвольно выбранных контуров:

для контура adkba

E1 = r₁I₁-_{_}r₃I₃ +r₀₁I₅; (2)

для контура bacldkb

E₁-E₂ = r₁I₁- r₂I₂+ r₀₁I₅+r₀₂I₆ (3) для контура bmncab

0 = - r₁I₁+ r₂I₂ + r₄I₄ (4)

 

Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), определяем токи в ветвях электрической цепи.

Легко заметить, что решение полученной системы из шести уравнений является весьма трудоемкой операцией. Поэтому при расчете сложных электрических цепей целесообразно применить метод контурных токов (метод ячеек), который позволяет уменьшить число уравнений, составляемых по двум законам Кирхгофа, на число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа. Следовательно, число уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно m-n+1. При решении методом контурных токов количество уравнений, определяется числом ячее. Ячейкой будем называть такой контур, внутри которого отсутствуют ветви. В нашем случае таких контуров-ячеек три: badkb, aclda и mncabm.

Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов ведется следующим образом:

1. Вводя понятие «контурный ток», произвольно задаемся направлением этих токов в ячейках. Удобнее все токи указать в одном направлении, например по часовой стрелке (рис. 2).

2. Составляем для каждого контура-ячейки уравнения по второму закону Кирхгофа. Обход контуров производим по часовой стрелке:

первый контур:

(5)

второй контур:

- (6)

 

третий контур:

(7)

 

Решая совместно уравнения (5), (6), (7), определяем контурные токи. В том случае, когда контурный ток получается со знаком «минус», это означает, что его направление противоположно выбранному на схеме.

3. Токи во внутренних ветвях схемы определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. В том случае, когда контурные токи в ветви совпадают, берут сумму, а когда направлены навстречу – из большего тока вычитают меньший.

4. Токи во внешних ветвях схемы равны по величине соответствующим контурным токам.

Задача 1. Рассчитать сложную цепь постоянного тока для схемы изображенной на рисунке 2. Задано: В, В, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом. Определить токи в ветвях цепи.

Решение.Используя уравнения (5), (6), (7), получаем:

 

Выразив через и :

=

 

и произведя соответствующие подстановки, получаем:

100=6,5 -4 ,

-120=-4 -8,5 ,

 

Совместное решение полученных уравнений дает:

=-5,2A; =-33,5A; =-14,4A.

Определяем токи в ветвях:

= - =-5,2+14,4=9,2А;

= - =-14,4+33,5=19,1А;

= - =-5,2+33,5=28,3;

=- =14,4А; =- =5,2А;

- =33,5А.

 

Электрические цепи переменного тока.

Однофазные цепи.

В результате изучения данного раздела студенты должны:

1) знать содержание терминов: резистор, сопротивление, индуктивная катушка, индуктивность, индуктивное сопротивление, конденсатор, емкость, емкостное сопротивление, фаза, начальная фаза, угол сдвига фазы, период, частота, угловая частота, мгновенное, действующее и среднее значения гармонических величин, полная, активное, реактивное, комплексное сопротивления и проводимость; полная, активная, реактивная комплексная мощность; характеристики и параметры элементов схем замещения цепей однофазного тока; условия достижения резонансов напряжений и токов;

2) понимать особенности электромагнитных процессов в электрических цепях синусоидального тока, энергетические соотношения в цепях синусоидального тока, экономическое значение коэффициента мощности; особенности простейших электрических цепей с магнитосвязанными элементами;

3) уметь составлять дифференциальные и комплексные уравнения состояния линейных цепей; представлять гармонически изменяющиеся величины тригонометрическими функциями, графиками, изображающими величинами и комплексными числами; строить векторные диаграммы неразветвленных цепей и цепей с параллельным соединением ветвей; определять опытным путем параметры схем замещения пассивных двухполюсников; с помощью электроизмерительных приборов измерять токи, напряжения и мощности в электрических цепях; строить потенциальные (топографические) диаграммы для неразветвленных цепей и цепей с параллельным соединением ветвей.

При изучении явлений резонанса в цепях переменного тока необходимо знать условия их возникновения, также обратить внимание на практическое применение резонанса токов для искусственного повышения коэффициента мощности в промышленных электроустановках. В то же время возникновение резонанса напряжений в электрических устройствах может представлять опасность, как для самих устройств, так и для обслуживающего персонала.

Изучая явления резонанса, необходимо усвоить следующее. При резонансе напряжение и ток на зажимах цепи всегда совпадает по фазе. Настройка же цепи на резонанс зависит от схемы соединений индуктивности и емкости. Для последовательной цепи условие резонанса является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений: . Для цепи, содержащей параллельный контур, в одной из ветвей которого находится индуктивность,

 

 

а в другой-емкость, условием резонанса является равенство реактивных проводимостей ветвей: .

При расчете цепей синусоидального тока приходится совершать различные математические операции, которые удобно производить над действующими значениями токов и напряжений, рассматривая их как векторы. Величины векторов при этом равны действующим значениям тока и напряжения, а начальная фаза определяет положение вектора относительно положительной горизонтальной оси координат. При положительной (опережающей) начальной фазе вектор повернут на соответствующий угол против движения часовой стрелки, а при отрицательной (отстающей)- по направлению движения часовой стрелки. Совокупность векторов, изображающих синусоидальные э.д.с., напряжения и токи одной частоты, выходящих из общей точки, называют векторной диаграммой.

Для цепей синусоидального тока обычно строят потенциальную (топографическую) диаграмму, каждая точка которой соответствует определенной точке электрической цепи. Чтобы осуществить это соответствие точек диаграммы и цепи, построения потенциальной диаграммы ведут в той же последовательности, в какой обходят электрическую цепь. Обычно направление обхода выбирают противоположным принятому направлению тока в цепи. Для наглядности в некоторых случаях векторные и потенциальные диаграммы объединяют в одну. Необходимо обратить особое внимание на направление векторов на потенциальных диаграммах. Векторы напряжений направлены относительно точек потенциальной диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек цепи. Ценность потенциальной диаграммы состоит в том, что она позволяет определить напряжения между любыми точками цепи. Для этого следует соединить соответствующие точки потенциальной диаграммы отрезком прямой и придать этому отрезку соответствующее направление.

При помощи потенциальной диаграммы удобно производить сложение напряжений, возникающих на отдельных участках последовательной цепи (второй закон Кирхгофа), и сложение токов, протекающих в ветвях параллельной цепи (первый закон Кирхгофа).

При построении векторных диаграмм один из векторов принимают за основной (опорный), располагая его обычно по положительному направлению горизонтальной оси. В этом случае начальная фаза тока или напряжения в зависимости от того, что данный вектор изображает, равна нулю. Для последовательной цепи за основной вектор принимают вектор тока, а для параллельной – вектор напряжения.

На рис. 3 показано последовательная цепь (рис 3, а) и ее векторная (рис3, б) и потенциальная (рис3, в) диаграммы. На рис. 4 в той же

 

последовательности, что и на рис.3, показана параллельная цепь и ее векторная и потенциальная диаграмма.

В том случае, когда сложение и вычитание вектора требуется производить не графически, а математически (например, при расчете электрической цепи), вектор раскладывают на две составляющие, одна

 

 

 

Рис. 3

 

 

Рис.3

 

из которых называется активной, а вторая - реактивной. Активной составляющей напряжения является та, которая совпадает по фазе с током, а реактивная - которая опережает ток или отстает от него по фазе на . Активной составляющей тока является та, которая совпадает по фазе с напряжением, а реактивная - которая опережает напряжение или отстает от него по фазе на . Зная сдвиг фаз между током и напряжением и величины векторов тока и напряжения, легко определить соответствующие составляющие этих векторов. Например, если нам задан синусоидально изменяющийся ток уравнением вида , то его активная и реактивная составляющие для действующего значения будут соответственно равны:

; ,

где .

Аналогично для напряжений:

; .

На диаграмме, изображенной на рис. 4, б показаны активные и реактивные составляющие токов.

 

Рис. 4

 

В том случае, когда необходимо произвести сложение двух или более векторов, выражающих собой токи или напряжения, определяют их активные и реактивные составляющие и модуль результирующего вектора:

 

; ;

 

где индексы L и C указывают на характер реактивной составляющей (индуктивность или емкость). Начальная фаза результирующего вектора определяется через :

= .

Для практических расчетов удобнее выражать векторы тока и напряжения, а также сопротивления и проводимости комплексными числами, в которых активные составляющие являются действительными величинами , а реактивные - мнимыми. Причем знак мнимой величины зависит от характера реактивной составляющей. При расчете электрических цепей переменного тока с помощью комплексных чисел могут быть использованы методы расчета, применяемые для цепей постоянного тока. Уравнения Кирхгофа в этом случае записываются как составляющие геометрической суммы.

При выполнении расчетов по методу комплексных чисел следует иметь в виду, что вещественная и мнимая части комплексного сопротивления, комплексной проводимости и комплексной мощности всегда представляют собой соответственно активную и реактивную составляющие этих величин; что же касается напряжения и тока, их активная и реактивная составляющие определяются углом сдвига по фазе между этими двумя векторами.

При анализе магнитосвязанных электрических цепей необходимо иметь в виду, что при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа, при учете напряжения от взаимоиндукции сравнивается направление обхода рассматриваемой катушки и направление тока во влияющей на нее катушке относительно одноименных зажимов катушки. Если эти направления совпадают, то напряжение взаимоиндукции учитывается в уравнении со знаком плюс, в противном случае- с минусом.

Задача 1. Рассчитать электрическую цепь синусоидального тока со смешанным соединением приемников.

Для схемы, изображенной на рис.4, г (на рис. 4, г ток направлен по часовой стрелке, ток - против часовой стрелки), известно что U=120 B, Ом, Ом, Ом, мГ, мГ, мкФ, =50 Гц.

Определить токи , , в ветвях цепи, напряжения на участках цепи , , активную, реактивную и полную мощности и построить векторную диаграмму.

Решение. Выражаем сопротивления ветвей цепи в комплексной форме:

;

Ом.

Переходя от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной, получаем:

Ом,

где ; ;

Ом,

Ом.

 

 

 

Рис. 5

 

Выражаем заданное напряжение U в комплексной форме. Если начальная фаза напряжения не задана, то ее можно принять равной нулю и располагать вектор напряжения совпадающим с положительным и направлением действительной оси. В этом случае мнимая составляющая комплексного числа будет отсутствовать (рис. 5).

В.

Полное комплексное сопротивление цепи

Определяем ток в неразветвленной части цепи:

А.

Токи и в параллельных ветвях могут быть выражены через ток в неразветвленной части цепи:

А;

А.

Токи и можно найти и по-другому:

В;

А;

А.

Найдем мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:

.

Для определения активной и реактивной мощностей полную мощность, выраженную комплексным числом в показательной форме, переводим в алгебраическую форму. Тогда действительная часть комплекса будет представлять собой активную мощность, а мнимая – реактивную:

,

откуда

Р=494 Вт; Q=218 вар.

Активную и реактивную мощности можно найти по-другому:

Вт;

Вт; Вт; Вт.

 

Проверка показывает, что .

вар;

вар; вар;

вар.

Учитывая, что и положительны (реактивная мощность индуктивных катушек), а отрицательно (реактивная мощность конденсатора) получим

вар.

На рис. 6 приведена векторная диаграмма токов и напряжений, построенная по расчетным данным. Порядок ее построения следующий: по результатам расчетов отложены векторы токов , и , затем по направлению отложен вектор и перпендикулярно к нему в сторону опережения - вектор . Их сумма дает вектор . Далее в фазе с построен вектор и перпендикулярно к нему в сторону отставания вектор , а их сумма дает вектор напряжения на параллельном участке . Тот же вектор может быть получен, если в фазе с отложить и к нему прибавить вектор , опережающий на . Сумма векторов и дает вектор приложенного напряжения .

 

 

Рис. 6

 

Трехфазные цепи.

 

При изучении трехфазных цепей особое внимание необходимо обратить на преимущества, которые дает трехфазная система по сравнению с однофазной. Рассматривая схемы соединения обмоток генераторов, надо уяснить связь между фазными и линейными напряжениями в схеме соединения звездой, а также связь между фазными и линейными токами в схеме соединения треугольником.

Необходимо четко представить, что в трехфазной цепи могут быть два режима: симметричный и несимметричный. Расчет трехфазной цепи в симметричном режиме сводится к расчету для одной фазы и производится аналогично расчету обычной цепи однофазного тока. Трехфазная цепь может рассматриваться как разветвленная цепь с тремя источниками питания и для расчета применяется методы, используемые при расчете сложных электрических цепей. Например, если несимметричный приемник соединен звездой без нейтрального провода, то для расчета трехфазной цепи можно применить метод узлового напряжения в комплексной форме.

 

 

После изучения настоящего раздела студенты должны:

1) знать основные элементы трехфазных цепей, способы соединения фаз обмотки генератора и включения в трехфазную цепь приемников; способы изображения трехфазной симметричной системы э.д.с.;

2) понимать роль нейтрального провода; принципы построения потенциальных диаграмм; влияние характера и схемы включения нагрузки на величину тока в нейтральном проводе; схемы электроснабжения предприятий;

3) уметь анализировать различные режимы симметричных и несимметричных цепей; читать схемы соединения трехфазных и однофазных приемников; предвидеть последствие коммутационных изменений в цепи на ее электрическое состояние

Задача 1. В трехфазную сеть с линейным напряжением В включен приемник, соединенный треугольником, сопротивление каждой фазы которого Z = (10+j10) Ом (рис. 7). Найти токи в каждой фазе нагрузки и линии и показания каждого ваттметра. Построить векторную диаграмму. Найти те же величины в случае обрыва цепи в точке d.

 

 

 

Рис. 7

Решение. Расчет токов в трехфазных цепях производится комплексным методом. Примем, что вектор линейного напряжения направлен по действительной оси, тогда

 

= =220 В; = =220e^{- j120}B; U_CA=U_ca=220e^{+ j120}

 

Определяем фазные токи:

А;

 

 

А.

Находим линейные токи:

А;

А;

А.

Определим показания ваттметров:

Вт;

 

 

Активная мощность цепи (алгебраическая сумма показаний ваттметров)

равна:

Вт,

или

Вт.

 

 

Рис. 8

 

На рис. 8 приводится векторная диаграмма напряжений и токов. При обрыве в точке d токи в фазах нагрузки будут:

А.

Вычислим линейные токи:

; А.

Находим показания ваттметров:

 

; Вт.

Задача 2. В четырехпроводную трехфазную сеть с линейным напряжением В включен звездой приемник, активные и индуктивные сопротивления фаз которого соответственно равны: Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом (рис. 9). Определить токи в линейных и нейтральном проводах и построить векторную диаграмму.

Решение. Считаем, что вектор фазного напряжения направлен по действительной оси, тогда

В, В, В.

 

 

 

Рис. 9 Рис. 10

 

 

Находим линейные токи:

А;

А;

А.

Ток в нейтральном проводе определяется как геометрическая сумма линейных токов:

А.

Векторная диаграмма показана на рис. 10.

При несимметричной нагрузке для определения активной мощности находят мощность каждой фазы отдельно:

,

а мощность всей трехфазной системы получают как сумму мощностей всех фаз или используют схему включения двух ваттметров.

Задача 3. В трехфазную сеть с линейным напряжением В включен звездой в приемник, активное, индуктивное и емкостное сопротивление фаз которого равны: Ом (рис. 11).

 

 

Рис. 11 Рис. 12

Решение. Расчет токов производим комплексным методом. Находим фазные напряжения (для симметричной нагрузки):

В;

=220В; В; В. Определяем напряжение между нейтральными точками приемника и источника питания :

В

 

Определяем напряжения на зажимах фаз приемника:

В;

В; В.

Определяем фазные (линейные) токи:

А;

 

А;

А.

Векторная диаграмма изображена на рис. 12.

Для подсчета активной мощности в данной схеме можно воспользоваться уравнениями, записанными для схемы включения двух ваттметров. Из рассмотрения этой задачи следует, что напряжение на зажимах фаз приемника получаются неодинаковыми. Поэтому несимметричные приемники (бытовые и др.) соединяют либо четырехпроводной звездой, либо треугольником.