Предельная теорема Чебышева и его следствие

Неравенство Чебышева и его доказательства.

Каково бы ни было положит. число для любой сл. величины Х, дисперсия кот. конечна, имеет место нерав-во

Рассмотрим сл. величину . Это неотриц. сл. величина, у кот. существует мат ожидание . Тогда к У можно применить неравенство Маркова. В результате для любого получим:

. Подставим это нерав-во выражение Y через Х и , тогда получим: или .

Предельная теорема Чебышева и его следствие.

Последовательность чисел С1, С2,…,Сn,… называется равномерно ограниченной, если существует такая постоянная М, что для любого i |Ci≤M(i=1, 2,…n,…).

Т: Если Х1, Х2,…,Хn, … - последовательность попарно независимых сл. вел-н, у кажд. из кот. есть мат. ожидание M(Xi)=ai, и дисперсия D(Xi)=ai2 (i=1,2, …), причем дисперсии равномерно ограничены, то для любого положительного .

.

СЛЕДСТВИЕ: Если Х1, Х2,…,Хn, …- последствие независ. сл вел, мат ожидание кот = a, а дисперсия , т.е. M(Xi)=ai,, D(Xi)= , тогда ф-ла будет иметь вид:

, . Т.о. ср. арифметич (а это сл вел) при больших n мало чем отличается от постоянной вел-ны a.

26)Теорема Бернулли.

Пусть комплекс условий повт-ся n раз и кажд. раз соб-е A может наступить с 1 и той же вер-тью р независимо от предыдущих испытаний, тогда вер-ть модуля отклонения частости наступления события от вер-ти р, меньшего , стремится к 1, т.е

.

27)Центральная предельная теорема.

Если Х1, Х2,…,Хn, … - независ. сл вел, у кажд. из кот есть мат ожидание M(Xi)=ai, ,

D(Xi)= , . Центральн. момент 3го порядка

и , тогда сл вел , = сумме Х1, Х2,…,Хn, …, распределена асимптотически по норм закону с мат ожиданием и дисперсией . Иначе для любого α и β (α<β) .

Следствие: Если Хi – независ. сл. величины, у кот. сущ-ют M(Xi)=a, D(Xi)= и , то сумма Х1+Х2+…+Хn распределена асимптотически по нормальн. з-ну.

28)Система случайных величин. Законы распределения системы СВ. Функция распределения системы СВ.

29)Система двух дискретных случайных величин (двумерная СВ).

30)Система двух непрерывных случайных величин.

31)Условные законы распределения двумерных дискретных СВ.

32)Условные законы распределения двумерных непрерывных СВ.

33)Основные числовые характеристики двумерных случайных величин: условное математическое ожидание, ковариация, коэффициент корреляции.

34)Функции случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия. Плотность распределения функции СВ.

Пусть дана ф-ция 1 переменной f(x) с областью определения D(f) и некоторая сл вел Х, все знач кот. принадлежат мн-ву D(f). Тогда, если Х приняла значение х, будем считать, что новая сл вел Y приняла знач f(x). Эта новая сл вел наз ф-цией сл вел Х, (Y= f(Х).)

Если среди значений ф-ции некот. повторяются все вар-ты должны объединить в 1, записать значение функции, а над ними общую суммарную вер-ть.

В случае, когда Х - непрерывная сл вел с плотностью распр-я р(х), , а F(X) – монотонно возрастающая и непрерывно дифференцируемая ф-ция. Если мн-во значений Х есть сегмент [a;b] иf(a)=с, f(b)=d, то ф-ция распр-я Y=f(x)

Здесь -пл-ть распр-я У=f(x).

Для c≤y≤d F(y)=P(Y<y)=P(f(X)<y)=

Если ф-ия f(x) монотонно убывает, то ее производная <0. Т.к. плотность – вел-на неотрицательная, то в предыдущей ф-ле производную обратной функции необходимо взять по модулю.

В общ. случае (поскольку f(x) может и возрастать и убывать на некоторых участках) нам необходимо разбить всю числовую ось на пром-тки возр-я и убыв-я на промежутке f(x), тогда обозначим через fi(x) функцию на i-м участке.

Аналогичным образом можно посчитать и любые др. числовые хар-ки новой сл вел (исп-я те же формулы). , но с учетом монотонности f(x) и того, что с=f(a), a d=f(b) получим