Через натяжения в магнитном поле

Основной задачей электромагнитного расчета любой электрической машины является определение ЭМС (ЭММ), приложенных к ее перемещающейся части. Для расчета ЭМС теория электромагнетизма предлагает три метода [3]:

- по изменению энергии или коэнергии магнитного поля при бесконечно малом перемещении выделенного объема на расстояние в направлении единичного вектора по координате , где ;

- через тензор натяжения в магнитном поле;

- через объемную и поверхностную плотность ЭМС в магнитном поле.

Фундаментальным методом расчета ЭМС, из которого вытекают другие методы, является энергетический, идея которого заключается в применении закона сохранения энергии к электромеханическому преобразованию, которое происходит при бесконечно малом изменении координаты , характеризующей положение выделенной части системы в объеме по отношению к остальной ее части. Перемещению подвергается выделенная часть системы , для которой необходимо определить действующие на нее ЭМС или ЭММ, объединяемые понятием обобщенной ЭМС .

Обобщенная ЭМС , действующая на нелинейную магнитную систему целиком (либо на ее выделенную часть), может быть определена из уравнения электромеханического преобразования энергии для линейной модели этой системы:

, (2.16)

где – электрическая энергия, поступившая в контуры системы от управляемых источников энергии, поддерживающих в этих контурах постоянство тока или потокосцепления при перемещении на бесконечно малое расстояние ,

– приращение энергии магнитного поля линейной модели нелинейной системы при перемещении на ,

– механическая работа, совершаемая обобщенной ЭМС при изменении на координаты , характеризующей положение нелинейной системы, либо ее части,

– количество возбуждающих контуров нелинейной системы.

Если магнитное поле рассчитывается численно, то расчет сил и момента через изменение энергии или коэнергии приводит к тому, что их приращение по (2.16) определяется в виде малой разности двух больших величин. При этом получить достаточно точный результат весьма затруднительно. В этом случае ЭМС и ЭММ предпочтительно определять либо через натяжения в магнитном поле, либо через объемную и поверхностную плотность электромагнитных сил [3]. Наиболее приемлемым по точности и достаточно простым в реализации является расчет ЭМС и ЭММ через натяжения в магнитном поле.

Кратко рассмотрим математическую формулировку метода натяжений [3]. ЭМС, действующая на выделенную часть объема , охваченную поверхностью , может быть найдена суммированием элементарных сил , приложенных к элементам поверхности :

, (2.17)

где – сила натяжения, действующая извне на единицу поверхности, внешняя нормаль к которой направлена по :

(2.18)

Вектор натяжения (2.18) в двухмерной постановке задачи может быть выражен через компоненты по осям выбранной системы координат:

, (2.19)

где , – единичные орты.

Значение и направление вектора натяжения в данной точке области поля зависят от ориентации площадки , на которую он действует.

Выражения для составляющих вектора в (2.19) определяются следующим образом:

,

, (2.20)

где – компоненты вектора по осям координат , действующего на площадку , внешняя нормаль к которой направлена по ;

– компоненты вектора по осям координат , действующего на площадку , внешняя нормаль к которой направлена по .

Компоненты вектора натяжения в (2.20) определяются как:

(2.21)

где при при .

Величины в (2.21) определяются по (2.10) из расчета магнитного поля в исследуемой области и полностью характеризуют собой систему натяжений в данной точке области поля. Результаты расчета по (2.20) и (2.21) позволяют определить составляющие ЭМС по осям координат:

(2.22)

(2.23)

ЭММ через натяжения определяется как:

(2.24)

где – радиус-вектор, связывающий начало системы координат с элементом поверхности .

Точность расчета ЭМС (ЭММ) методом натяжений существенно зависит от пространственного положения поверхности интегрирования и степени дискретизации расчетной области [3]. С целью устранения влияния указанных факторов на результаты расчета ЭМС (ЭММ) предложена модификация метода натяжений, названная в англоязычной литературе методом “eggshell”, идея которого состоит в построении семейства концентрических эквивалентных поверхностей для оценки ЭМС (ЭММ) через тензор натяжений c последующим его усреднением. Метод нашел применение как для расчета ЭММ во вращающихся ЭМП.

В приложении к расчету ЭММ, действующего на ротор электрической машины, магнитное поле которой определено МКЭ в двухмерной постановке задачи, метод “eggshell” заключается в следующем. Поверхностный интеграл (2.24) заменяется линейным интегралом вдоль воздушного зазора. Если контур интегрирования представляет собой окружность радиусом , в полярной системе координат ( ), то (2.24) с учетом (2.21) запишется в виде:

, 5)

где , – компоненты вектора магнитной индукции.

Радиус контура интегрирования может быть выбран произвольно в диапазоне между внешним радиусом ротора и внутренним радиусом расточки статора , т.е. в пределах рабочего воздушного зазора. Для получения более объективного результата необходимо провести интегрирование выражения (2.25) по всей площади воздушного зазора электрической машины. В этом случае выражение (2.25) преобразуется к виду:

, (2.26)

где – площадь воздушного зазора.

Тогда ЭММ с учетом (2.26):

, (2.27)

Главным достоинством рассмотренного метода расчета ЭММ является его «нечувствительность» к степени дискретизации области рабочего воздушного зазора электрической машины.

Покажем это на примере определения статического ЭММ ВРД с соотношением чисел полюсов статора к ротору 8/6 [10]. Магнитное поле рассчитаем для трех вариантов разбиения рабочего воздушного зазора на конечные элементы: а – шаг разбиения 0,075; б – шаг разбиения 0,05; в – шаг разбиения 0,025, что ориентировочно соответствует 2, 3 и 6 слоям треугольных элементов в области воздушного зазора (рис. 2.1).

а) б) в)

Рис. 2.1. Варианты разбиения воздушного зазора на конечные элементы

Результаты расчета статического ЭММ в функции углового положения ротора для указанных на рис. 2.1 вариантов разбиения приведены на рис. 2.2. Данные рис. 2.2 убедительно демонстрируют инвариантность метода “eggshell” к степени дискретизации воздушного зазора ВРД.

Рис. 2.2. Зависимости для различных вариантов

дискретизации воздушного зазора

На рис. 2.3 представлены зависимости , полученные методом натяжений в традиционной постановке задачи [3] для тех же вариантов разбиения, что и для метода “eggshell”. Кроме того, рис. 2.3 дополнен вариантом г) с еще более мелким шагом разбиения 0,01 в воздушном зазоре. Поверхность интегрирования, в соответствии с рекомендациями [3], для всех вариантов дискретизации проходила на минимально возможном удалении от зубцов ротора ВРД. На рис. 2.3 для сопоставления двух модификаций метода натяжений приведены результаты расчета кривой , полученные методом “eggshell”(зависимость д). Результаты, представленные на рис. 2.3, подтверждают вывод о существенном влиянии степени дискретизации расчетной области на величину и характер изменения ЭММ. Из приведенных на рис. 2.3 зависимостей также следует, что лишь для сетки в воздушном зазоре с шагом разбиения 0,01 наблюдается определенное совпадение результатов расчета ЭММ методом натяжений в традиционной постановке и методом «eggshell». При увеличении шага разбиения не только снижается точность расчета ЭММ, но и изменяется качественный характер зависимости .

Применение метода “eggshell” позволяет на порядок сократить время расчета зависимостей ЭММ в функции угла поворота ротора для различных вариантов сочетания геометрических размеров и токов в обмотках ВРД за счет уменьшения общего числа узлов сетки конечных элементов. Недостатком метода “eggshell” является невозможность определения ЭМС и ЭММ, приложенных к части нелинейного магнитного тела (например, силы и момент, действующие на один из зубцов ротора электрической машины). Его применение может быть рекомендовано лишь в тех случаях, когда необходимо рассчитать ЭМС и ЭММ, действующие на нелинейное магнитное тело, окруженное со всех сторон средой с магнитной проницаемостью .

Рис. 2.3. Сравнение результатов расчета ЭММ методом

“eggshell” и через натяжения в постановке [3]