Корреляционная функция и спектральная плотность мощности шума

Корреляционная функция является детерминированной характеристикой случайного процесса (шума), которая связывает значение случайной величины (сигнала) в данный момент времени со значением этой величины (сигнала) в любой более поздний момент времени .

Для стационарного случайного сигнала выбор конкретного значения момента времени не имеет значения. Здесь имеет значение лишь значение t.

Корреляционная функция определяется как среднее значение произведения случайных величин в рассмотренные моменты времени: , (7.1)

где Т – время наблюдения.

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция зависит только от одного аргумента — временного интервала t.

Для одинаковых моментов времени корреляционная функция, как это следует из формулы (1), с учетом того, что среднее значение , совпадает с дисперсией случайного процесса: .

В определении функции фигурирует квадрат сигнала . Квадраты сигналов пропорциональны интенсивности или мощности соответствующих физических величин.Поэтому корреляционная функция характеризует интенсивность случайного процесса.

Исследователей интересует не только вопрос интенсивности флуктуаций, но и реакция приборов на эти флуктуации. Как известно, реакция прибора на любой сигнал может характеризоваться частотной характеристикой прибора, или его переходной характеристикой, или его импульсной характеристикой. Эти характеристики однозначно связаны между собой. Очевидно, что достаточно знать одну из них.

Внутренний шум, как правило, представляет собой хаотически изменяющийся сигнал, многократно изменяющий свою величину и (или) знак за время измерений. В этом смысле он напоминает периодический сигнал. Поэтому его взаимодействие с прибором удобно сравнивать с взаимодействием прибора с периодическим сигналом. Это взаимодействие, чаще всего, описывают, используя понятия “частотная характеристика прибора” и “спектральная плотность сигнала”. Спектральная плотность сигнала находится с помощью преобразования Фурье. Зная частотную характеристику прибора и спектральную плотность сигнала на его входе , можно очень просто найти спектральную плотность сигнала на выходе прибора, умножив одну на другую: .

Рис.7.4. Определение спектральной плотности сигнала

Далее, взяв обратное преобразование Фурье от функции , можно установить зависимость сигнала от времени на выходе прибора: . (7.2)

В связи с этим можно ставить вопрос о спектральной плотности шумового сигнала. К сожалению, для случайных сигналов x(t). преобразование Фурье не существует, поскольку не существует интеграл . Однако, существует преобразование Фурье для квадратов случайных сигналов – x²(t). И поскольку квадраты сигналов пропорциональны мощности соответствующих физических величин, то можно говорить о спектральной плотности мощности соответствующих сигналов. Эту функцию будем обозначать как . В этом случае связь между спектральными плотностями мощности шумовых сигналов на выходе и входе прибора дается равенством . Используя обратное преобразование Фурье, отсюда можно выразить спектральную плотность шумового сигнала через спектральную плотность мощности:

(7.4).

Из предыдущих формул найдем: (7.5)

Отсюда и из (7.2) следует очень важная формула, связывающая дисперсию случайной величины x со спектральной плотностью соответствующего случайного процесса:

(7.6)

Из этой формулы следует, что дисперсия шума является интегральной характеристикой интенсивности случайного процесса, усредненного по бесконечному частотному интервалу.

Замечание! Приведенная выше спектральная теория шумов годится не только для тепловых флуктуаций, но и для стационарных шумов любой природы.Система должна отдать эту энергию обратно. Это возможно только при наличии процессов диссипации (трения) в системе.

Если диссипация энергии в системе отсутствует, в ней не может быть равновесия.

Следовательно, статистическое равновесие предполагает наличие диссипации. Например, маятник, выведенный толчком из положения равновесия, может вернуться в исходное неподвижное состояние только при наличии трения.

Количество энергии, возвращаемое подсистемой, пропорционально коэффициенту трения (диссипации) и зависит от динамических свойств подсистемы. Поскольку вся система в целом изолирована и ее полная энергия остается постоянной, то, следовательно, количество энергии, получаемое подсистемой при флуктуации так же должно быть пропорционально коэффициенту диссипации в подсистеме.

Таким образом, ФДТ связывает интенсивность тепловых флуктуаций (точнее спектральную плотность мощности) подсистемы с коэффициентом диссипации и динамическими свойствами этой подсистемы.

Рис.7.6.

Формулы Найквиста

Электроны, находясь в проводящей среде, испытывают со стороны этой среды беспорядочные толчки, как и броуновская частица. Под действием этих толчков они совершают такое же беспорядочное движение. Чем интенсивнее эти толчки, тем более беспорядочным становится движение электрона, тем труднее электрону двигаться в направлении, задаваемым внешним электрическим полем, и тем больше тогда электрическое сопротивление среды. Поскольку электроны обладают зарядом, то, даже в отсутствие внешнего электрического поля, это беспорядочное движение приводит к появлению хаотического тока, среднее значение которого, естественно, равно нулю. Однако дисперсия этого тока и его спектральная плотность отличны от нуля.

Найквист, анализируя это движение в резисторе с сопротивлением R, в 1927 году получил выражение для спектральной плотности мощности хаотического напряжения, возникающего на концах разомкнутого резистора в следующем виде: . Если резистор замкнуть, то в его цепи возникнет беспорядочный ток. Спектральная плотность мощности этого тока имеет следующий вид: .

Существуют два основных способа уменьшения шумовых наводок: экранирование и заземление. Так как экранирование, как правило, сопровождается заземлением, они тесно связаны между собой. Так, например, ниже будет показано, что экран кабеля, используемый для подавления электрических полей, следует заземлять. При правильном применении экраны могут значительно уменьшать связи по шумам. Их можно устанавливать вокруг элементов, схем и устройств, а также вокруг кабелей и линий передачи. В данном разделе мы рассмотрим только экранирование проводников, передающих информационные сигналы.

Будем считать, что между проводниками имеются три типа связей:

- емкостная,или электрическая связь - вызывается взаимодействием схем через электрические поля. Этот вид связи обычно определяется в литературе как электростатическая связь, что неверно, поскольку поля не являются статическими.

- индуктивная,или магнитная, связь - есть результат взаимодействия двух схем посредством магнитных полей.

-электромагнитная связь- комбинация электрического и магнитного полей, которая часто называется связью через излучение. При анализе ближнего поля электрическое и магнитное поля рассматривают обычно раздельно и сводится к двум предыдущим. Случай электромагнитного поля рассматривается для дальнего поля. Схема, создающая помехи, называется источником, а схема, на которую помехи воздействуют - приемником.