Уравнения и неравенства с модулем

Свойства модуля:

1)

Противоположные числа – числа , имеющие одинаковый модуль (говорят, что числа равны по модулю).

Геометрический смысл: – расстояние от точки с координатой до точки с координатой 0.

2) (модули противоположных чисел равны). Аналогично и для выражений, например .

3) .

Помните, модуль числа – число положительное или 0! Так, например,

, .

 

Подходы к решению уравнений и неравенств:

1) 1 или 2 модуля: раскрытие по определению.

Пример 1. .

Решение:

или .

.

Ответ: .

Пример 2. .

Решение:

или .

.

.

или .

Ответ: .

Пример 3. .

Решение:

или .

.

или . или .

. .

Ответ: .

Пример 4. .

Решение:

или .

.

Ответ: .

Пример 5. .

Решение:

Т.к. слева стоит модуль, то (*).

или .

.

.

Второй корень является посторонним, т.к. не удовлетворяет (*).

Ответ: .

Пример 6. .

Решение:

или .

.

Ответ: .

Пример 7. .

Решение:

.

.

Поскольку каждая часть неравенства положительна, можем извлечь корень:

.

,

.

Объединяя полученные решения, получим ответ.

Ответ: .

Пример 8. .

Решение:

.

.

.

.

Ответ: .

Пример 9. .

Решение:

ОДЗ: (стоит под корнем в знаменателе).

Используя свойство квадратного корня, исходное неравенство примет вид:

.

.

.

.

Ответ: .

Пример 10. .

Решение:

.

.

Последние неравенства решаем по методу интервалов:

 

 

Ответ: .

 

 

2) Несколько модулей: интервальное раскрытие.

На ЦТ такого задания быть не должно,пример рассматривается в ознакомительных целях.

Пример 11. 3|x – 1| – 2|x – 2| + |x + 3| = 2.

Решение:

Находим нули подмодульных выражений:

.

Т.о., имеется 4 интервала, на каждом из которых подмодульные выражения или >0 (‘+’) или <0 (‘–‘):

(знаки расставлены в порядке следования модулей)

Деление на интервалы (включение/невключение в интервал нулей) условное:

1) : . Данное решение не принадлежит рассматриваемому интервалу, но не волнуйтесь: оно будет решением следующего интервала.

2) : .

3) : (не принадлежит рассматриваемому интервалу).

4) : (не принадлежит рассматриваемому интервалу).

О т в е т: .

3) Уравнения и неравенства с одинаковыми компонентами.

A. Метод замены переменных.

Пример 12. .

Решение:

Пусть , тогда .

или .

Ответ: .

Пример 13. .

Решение:

Пусть , тогда .

или .

или .

.

Ответ: .

 

Б. Используются свойства модуля.

Пример 14. Решите уравнение .

Решение:

Перепишем уравнение в виде: .

Получается, что модуль выражения равен этому выражению, взятому с противоположным знаком. Такое возможно только в том случае, если данное выражение отрицательно или равно нулю:

.

Ответ: .

Пример 15. Решите неравенство .

Решение:

Модуль A не может быть меньше A, возможно только равенство, из которого делаем вывод:

.

Ответ: .

Пример 16. Решите неравенство .

Решение:

Перепишем уравнение в виде .

или .

.

Ответ: .

В. Используются свойства других функций.

Пример 17. Решите уравнение .

Решение:

Возможны следующие случаи:

1) х² – х = 2 (степени равны), откуда х₁ = 2, х₂ = –1.

2) 0^а = 0^в, а > 0; в > 0, т.е. |х – 3| = 0, х₃ = 3.

3) |х – 3| = 1, откуда х₄ = 4; х₅ = 2.

Ответ:–1; 2; 3; 4.