Статистическое определение вероятности

По курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Для студентов специальности «Экономика» 2 курс, 3 семестр,

Учебный год

Элементы комбинаторики. Перестановки, сочетания, размещения. Перестановки, сочетания, размещения с повторениями.

Комбинаторика изучает конечные множества.

Число перестановок P_n=n!=1*2*…*n<=, 0!=1.

Число размещений A_n^m = n!/m!(n-m)!.

Число сочетаний C_n^m=n!/m!(n-m)!.

Число размещений с повторениями

Число сочетаний с повторениями

Число перестановок с повторениями

Случайные события и действия над ними.

Опыт со случайным исходом – это комплекс условий, в которых происходит то или иное явление. Результат опыта – случайное событие.

Разностью событий A и B называется событие A\ B , которое происходит тогда

и только тогда, когда наступает событие A, но наступает событие B .

Противоположным событию A называется событие A , которое происходит

тогда и только тогда, когда не наступает событие A.

Суммой (объединением) событий A и B называется событие A+ B или A B, которое происходит тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий A или B , т.е. когда наступает событие A или событие B , или оба события A и B .

Произведением (пересечением) событий A и B называется событие AB или A B , которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события A и B .

Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями.

Под множеством понимают совокупность объектов любой природы.

Множество всех возможных взаимоисключающих исходов опыта называют пространством элементарных событий и обозначают = . Сами исходы называют элементарными событиями.

Тогда случайное событие A - это любое подмножество пространства элементарных событий. Элементарные события, входящие в это подмножество, называют благоприятствующими наступлению события A.

Само множество является достоверным событием, а пустое множество – невозможным событием.

Классическое определение вероятности.

Отношение числа благоприятствующих исходов к общему числуэлементарных исходов называется вероятностью события A и обозначается P(A) .

P(A)=m/n.

где m - число исходов, благоприятствующих событию A,

n - число всех возможных элементарных исходов.

Основные свойства вероятности:

1.Вероятность достоверного события равна единице. P(A)=n/n=1.

2.Вероятность невозможного события равна нулю. P(A)=0/n=0.

3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей. 0 < m<n, 0<m/n<1, 0<P(A)<1.

Итак, вероятность любого события 0 P(A) 1.

Статистическое определение вероятности.

В качестве вероятности события принимают относительную частоту появления события или число, близкое к ней. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых данное событий появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний: W(A)=m/n, где m - число появлений события A, n - общее число испытаний.

Для существования статистической вероятности события A требуется:

1.Возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие A наступает или не наступает.

2. Устойчивость относительных частот появления события A в различных сериях достаточно большого числа испытаний.