Косинус двойного угла равен разности единицы и удвоенного квадрата синуса данного угла

Косинус двойного угла равен разности удвоенного квадрата косинуса данного угла и единицы.

В формуле sin (a + b ) = sin a · cos b + cos a · sin b примем a = b .

sin (a + a ) = sin a · cos a + cos a · sin a = 2 · sin a · cos a

sin 2a = 2sin a cos a , a -данный угол

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса данного угла.

Пример: Вычислить а) 2 sin 15° · cos 15°; б) cos ² - sin ² .

Решение:

а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin 2a = 2 sin a · cos a

2 sin 15° · cos 15° = sin (2 · 15°) = sin 30° = 0,5 ;

 

б) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: cos 2a = cos ² a - sin ² a

cos ² - sin ² = cos (2 · ) = cos = .

Ответ: а) 2 sin 15° · cos 15° = 0,5 ; б) cos ² - sin ² = .

 

В формуле примем a = b .

 

В формуле примем a = b .

 

 

Тангенс двойного угла равен отношению удвоенного тангенса данного угла к разности единицы и квадрата тангенса данного угла.

Котангенс двойного угла равен отношению разности единицы и квадрата тангенса данного угла к удвоенному тангенсу данного угла.

Пример: Представить тригонометрические функции данного аргумента через тригонометрические функции вдвое меньшего аргумента:

sin a ; sin 5a ; cos ; tg 42°.

Решение: Воспользуемся формулами синуса, косинуса и тангенса двойного угла:

sin a = sin (2 · ) = 2 · sin · cos ;

sin 5a = sin (2 · ) = 2 · sin · cos ;

cos = cos (2 · ) = cos ² - sin ² ;

tg 42° = tg (2 · 21° ) =

Ответ: sin a = 2 · sin · cos ; sin 5a = 2 · sin · cos ;

cos = cos ² - sin ² ; tg 42° =

 

 

Из формулы cos 2a = 1 - 2 sin ² a выразим sin ² a через cos 2a .

Из формулы cos 2a = 2 cos ² a -1 выразим cos ² a через cos 2a .

 

или 2 sin ² a = 1 - cos 2a

или 2 cos ² a = 1 + cos 2a

 

Замечание: Эти формулы называются формулами понижения степени.

Пример: Понизить степень выражения: 2 cos ² 3b ; 2 sin ²

Решение: Воспользуемся формулами понижения степени:

 

2 cos ² 3b = 1 + cos (2 · 3b ) = 1 + cos 6b

 

2 sin ^{2 =} 1 - cos ⁼ 1 - cos

Ответ: 2 cos ² 3b = 1 + cos 6b ; 2 sin ^{2 =} 1 - cos

Пример:

№1. Сократить дробь .

 

Решение: Разложим cos 80 º по формуле косинуса двойного угла и применим формулу сокращенного умножения a ² – b ² = (a – b) · (a + b) :

 

 

Ответ:

№3. Доказать тождество .

Решение: В числителе дроби преобразуем sin a по формуле синуса двойного угла , а в знаменателе дроби применим формулу понижения степени:

sin a = 2 · sin · cos ; 2 cos ² = 1 + cos a .

Определим область допустимых значений аргумента a :

или

; ; a ¹ p + 2p k , k Î Z ;

; ; ; .

ОДЗ : a ¹ p + 2p k , , k Î Z .

 

Упражнения:

 

№1. Представить тригонометрические функции данного аргумента через тригонометрические функции вдвое меньшего аргумента:

1) sin 4b ; 2) cos 8a ; 3) sin ; 4) cos ; 5) tg .

№2. Представить тригонометрические функции данного аргумента через тригонометрические функции вдвое большего аргумента:

1) cos ² 15° ; 2) sin ² 1,5 p ; 3) sin ² ; 4) cos ^{2 .}

№3. Упростить выражение:

а) 1 + cos 2a - 2 sin ² a ; б) ;

в) .

№4. Доказать тождество:

а) (sin a + cos a) ² – 1 = sin 2a ; в) 4 · sin a · cos a · cos 2a = sin 4a ;

 

б) cos ⁴ - sin ⁴ = cos a ; г) .

№5. Вычислить sin 2a , cos 2a , tg 2a , если tg a = и 180° < a < 270°.

12. Формулы приведения.

Определение: Формулы, выражающие тригонометрические функции от аргументов - a, , , , , через тригонометрические функции от аргумента a , называются формулами приведения .

Замечание: Формулы приведения с аргументами - a , , называются формулами приведения горизонтального диаметра.

Формулы приведения с аргументами , называются формулами приведения вертикального диаметра.

 

2p + a

х

у

p + a

p - a

2p - a

 

На рисунке показана принадлежность координатным четвертям углов:

, , , , где a – острый угол.

 

Правило: Если аргумент приводимой функции имеет вид - a , p ± a , 2p ±a , то название приводимой функции не меняется, а знак в правой части формулы ставится в зависимости от того, какой знак имела бы приводимая функция в случае, если 0 < a < .

Правило: Если аргумент приводимой функции имеет вид , , то название приводимой функции меняется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс), а знак в правой части формулы ставится в зависимости от того, какой знак имела бы приводимая функция в случае, если 0 < a < .

Пример:

№1. Упростить выражение: а) sin ( – p – a ); б) cos ( – 2p + a );

в) tg (– + a ); г) ctg ( – – a ) .

Решение: Воспользуемся четностью, нечетностью тригонометрических функций и формулами приведения:

 

а) sin ( – p – a ) = sin (– ( p + a )) = – sin (p + a ) = – (– sina ) = sin a ;

б) cos ( – 2p + a ) = cos (– ( 2p – a )) = cos ( 2p – a ) = cos a ;

в) tg ( – + a ) = tg (– ( – a )) = – tg ( – a ) = – ctga ;

г) ctg (– – a )= ctg (– ( + a )) = – ctg ( + a ) = – (– tga ) = tg a .

Ответ: а) sin ( – p – a ) = sin a ; б) cos ( – 2p + a ) = cos a ;

в) tg ( – + a ) = – ctga ; г) ctg ( – – a ) = tg a .

№2. Вычислить: 1) sin 240° ; 2) cos ( – 315°); 3) tg ( – 225° ); 4) ctg 300°;

5) sin ; 6) cos .

Решение: Воспользуемся четностью, нечетностью тригонометрических функций и формулами приведения:

1) sin 240° = sin ( 180° + 60°) = –sin 60° = ;

2) cos ( – 315°) = cos 315° = cos (270° + 45°) = sin 45° = ;

3) tg ( – 225° ) = – tg 225° = – tg ( 180° + 45°) = – tg 45° = –1 ;

4) ctg 300° = ctg ( 360° – 60°) = – ctg 60° = ;

5) ;

6) .

Ответ: 1) sin 240° = ; 2) cos ( – 315°) = ; 3) tg ( – 225° ) = –1 ;

4) ctg 300° = ; 5) ; 6)

№3. Доказать тождество:

 

Решение: Воспользуемся формулами приведения и упростим аргументы тригонометрических функций:

sin (p + a) = – sina cos (p –a) = – cosa

sin (0,5 p + a) = cos a cos (0,5 p –a) = sina

sin (p –a) = sina cos (p + a) = – cosa

 

 

Воспользуемся формулой

cos 2a = cos ² a - sin ² a = 1 - 2 sin ² a = 2 cos ² a -1 :

Воспользуемся формулой a ² – b ² = ( a – b ) · ( a + b ) :

Сократим дроби и приведем подобные слагаемые:

cos a – sina + sin a + cos a = 2 cos a 2 cos a = 2 cos a

 

Определим область допустимых значений выражения:

sin (0,5 p + a) + sin (p –a) ¹ 0 cos (0,5 p –a) + cos (p + a) ¹ 0

cos a + sin a ¹ 0 sin a – cosa ¹ 0

cos a ¹ – sina sin a ¹ cosa

a ¹ + pk , k Î Z a ¹ + pk , k Î Z

Область допустимых значений выражения: a ¹ k , k Î Z .

Ответ: Тождество верно при a ¹ k , k Î Z .

Упражнения:

№1. Привести к тригонометрической функции острого угла, сохраняя название функции: а) sin 173°; б) tg 355°; в) ctg (– 215°).

№2. Привести к тригонометрической функции острого угла, изменив название функции: а) sin 1140°; б) tg 440°; в) cos 400°

№3. Упростить выражение:

а) sin (a– ) · cos ( p – a ) + sin (a – p ) · sin ( p + a ) ;

б) sin ² (180° – a ) + sin ² (270° – a );

в) cos ² ( p + a ) + cos ² ( + a ) ;

г) ;

д) ;

е) sin ² ( p – a ) + tg ² ( p – a ) · tg ² ( + a ) + sin ( + a ) · cos (a – 2p) ;

ж)

№4. Доказать тождество:

1) ( sin a + sin ( – a )) ² + ( cos a – cos ( – a )) ² = 2 ;

2) ;

3) ;

4) sin ( + a ) · ctg ( – a ) + sin ( p – a ) + ctg ( – a ) = tg a ;

5) sin 200° · sin 310° + cos 340° · cos 50° =

№5. Вычислить:

1) tg 1800° – sin 495° + cos 480° ; 2) cos 4455°– cos (– 945°) + tg 1035°– сtg (– 1500°);

3) ; 4)

13. Сумма и разность тригонометрических функций.

sin х + sin у = 2 · sin · cos