Тригонометрические ряды

1. Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье. Кусочно - монотонные функции.

2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

3. Ряд Фурье для функции с периодом 2е.

4. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7

Контрольная работа № 7 состоит из пяти задач. Ниже рассмотрены варианты решения заданий.

Образец выполнения задания № 1

Задача.Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Преобразуем уравнение: , . Это линейное уравнение 1 порядка. Сделаем замену .

Тогда , .

Составим систему .

Решаем первое уравнение: , , , , (при решении этого уравнения постоянную интегрирования можно не писать), . Подставим во второе уравнение, и решим его.

, , , , .

Следовательно, - общее решение дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения применим условия , т.е. подставим , в общее решение: , отсюда .

Значит - частное решение дифференциального уравнения.

Образцы выполнения заданий № 2

Задача 1.Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: , .

Решение. Уравнение не содержит , поэтому делаем замену ( ). Тогда , , , , , , , , , - общее решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти частное решение, используем начальные условия. Имеем

отсюда

Значит, искомое частное решение таково: .

Задача 2.Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Уравнение не содержит , поэтому делаем замену . Тогда , , , , , , или , , , , , = общее решение дифференциального уравнения.

Переходим к нахождению частного решения. Имеем

Подставив сюда начальные условия, получим

Второе равенство удовлетворяется, если взять знак «+». Тогда , .

Отсюда - частное решение дифференциального уравнения.

Образец выполнения задания № 3

Задача.Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: , .

Решение. Сначала найдем общее решение , где - решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение.

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни , где - минимальная единица.

Отсюда .

Частное решение ищем в таком виде, который соответствует правой части исходного уравнения, а именно .

Чтобы найти А, В, подставим это выражение в исходное уравнение

.

Вычислив производные и упростив левую часть, получим

, отсюда будем иметь систему

, решение которой , .

Следовательно, ,

.

Производная этой функции равна

.

Подставим начальные условия: при , , . Получим

, , отсюда , .

Ответ. Частное решение таково:

.