Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений

Методы решения систем уравнений

I. Метод обратной матрицы (матричный метод).

Пример 1. Решить систему матричным методом .

Решение:Для данной системы: матрица системы ,

матрицы-столбцы свободных членов и неизвестных .

Для нахождения решения по формуле (2.6), необходимо найти для матрицы обратную, которая уже найдена в примере 11 темы 1:

.

Следовательно, решение = = .

Итак, , или .

II. Метод Крамера (решение СЛУ по формулам Крамера).

Пример 2. Решить систему по формулам Крамера

.

Решение:Для данной системы формулы Крамера (2.7) будут иметь вид: , где . Вычислим . Следовательно,

система имеет единственное решение.

Вычислим все три , которые получаются из определителя заменой –го столбца столбцом свободных членов .

; ; . ; ; .

Итак, .

Полученное решение совпадает с решением этой же системы матричным методом (пример 1).

III. Метод Гаусса и Жордана-Гаусса.

Решение системы методом обратной матрицы и по формулам Крамера часто оказывается трудоемкой задачей и применимо лишь когда , более универсальный и эффективный метод (легко реализуемый на компьютере) – метод Гаусса или метод Жордана-Гаусса.

В основе этих методов лежат элементарные преобразования систем, в результате которых, из исходной системы уравнений получают эквивалентную ей систему специального вида, а именно: с матрицей треугольного (метод Гаусса) или диагонального (метод Жордана-Гаусса) вида.

К элементарным преобразованиям систем относятся:

1) перестановка строк;

2) умножение всех элементов строки на число ;

3) прибавление к элементам любой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число ;

4) исключение из матрицы нулевой строки.

Замечание. Если в процессе преобразований получается строка, которой соответствует уравнение вида: , то система несовместна.

Применяя эти методы, следует записать расширенную матрицу СЛУ и с помощью элементарных преобразований привести матрицу системы к треугольному виду (метод Гаусса), где все элементы ниже главной диагонали станут нулевыми. Затем записать СЛУ и с помощью так называемого «обратного хода» найти неизвестные. А именно: из последнего уравнения определяют неизвестное. Найденное значение подставляют в предыдущее уравнение и решают его, и т.д. продолжают находить все неизвестные СЛУ.

Преобразовывая расширенную матрицу системы по методу Жордана-Гаусса, добиваются того, чтобы матрица СЛУ имела диагональный вид. Далее записывают СЛУ по преобразованной матрице, и все неизвестные будут определены.