Лекция 10. Степенные ряды

Определение:Ряд (1), члены которого функции от х, называется функциональным.

- последовательность частичных сумм функционального ряда. = , -n-член функционального ряда, S(x)-сумма функционального ряда.

Определение:Если последовательность с областью определения G имеет область сходимости D и сходится на D к некоторой функции , то есть на D, то говорят, что ряд (1) сходится на множестве D, а S(x)- cумма этого ряда.

Определение:функциональный ряд (1)называется абсолютно сходящийся в некоторой точке , если в этой точке сходится абсолютно, соответствующий числовой ряд .

Определение: сходящийся функциональный ряд (1) называется равномерно сходящийся в некоторой области Х, если для каждого сколь угодно малого числа , найдется такое целое число N>0, что при выполняется неравенство для .

Признак равномерной сходимости функционального ряда(признак Вейерштрасса) Если функции по абсолютной величине не превосходят в некоторой области Х положительных чисел причем числовой ряд: сходится, то функциональный ряд в этой области сходится равномерно.

Степенные ряды

Определение:Степенным рядом называется ряд вида: (1) , где - числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

При а=0 степенной ряд имеет вид: .

Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится в некоторой точке , то он сходится, и притом абсолютно, и во всех точках х, для которых , если же этот ряд расходится в некоторой точке , то он расходится и во всех точках х, для которых .

Определение: Число R- половина длины интервала сходимости- называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание:В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то степенной ряд сходится лишь при х=а; если же , то ряд сходится на всей числовой оси.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1. Если среди коэффициентов ряда нет равных нулю, то есть ряд содержит все целые положительные степени разности х-а, то: при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.

2. Если исходный ряд имеет вид: , (где р- некоторое определенное целое положительное число: 2,3,… ), то: .

3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степени разности х-а любая (то есть не образует арифметическую последовательность, как в предыдущем случае), то радиус сходимости можно находить по формуле: (причем используются только значения , отличные от нуля (эта формула пригодна и в случаях 1 и 2)).

4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственный признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Записав ряд в виде: (здесь , где зависимость N от n может быть любой, причем через обозначен не коэффициент при , а коэффициент n-го члена ряда), находят интервал сходимости из неравенств: или