Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов

В этом разделе будут изложены теоремы, необходимые для вывода правил вычисления пределов. Сначала приведём некоторые определения.

Определение 3.1.Величина называется бесконечно малой (при , если .

Определение 3.2.Величина называется бесконечно большой (при , если .

Определение 3.3.Величина называется ограниченной на интервале , если такая константа , что для всех

Определение 3.4.Величина называется ограниченной сверху (снизу) на интервале , если такая константа , что ( для всех

Определение 3.5.Величина называется ограниченной, ограниченной сверху, ограниченной снизу при , если существует интервал ,

-12-

содержащий точку , на котором величина является таковой.

Очевидно, что функции и являются ограниченными на всей числовой оси, так как . Функции ограниченны на любом интервале при и таком, что при

Очевидно, что величина является ограниченной тогда и только тогда, когда она ограниченна и сверху, и снизу.

Очевидно, что бесконечно малая величина является ограниченной.

Примеры бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных величин будут приведены ниже.

Теорема 3.1.Сумма, разность, произведение бесконечно малых величин являются бесконечно малыми.

Теорема 3.2.Произведение бесконечно малой величины на ограниченную является бесконечно малой.

Теорема 3.3.Если - бесконечно малая, то - бесконечно большая.

Теорема 3.4.Если - бесконечно большая, то - бесконечно малая.

Теорема 3.5.Если и , то – ограниченная величина.

Теорема 3.6. тогда и только тогда, когда представима в виде , где . , т.е. - бесконечно малая.

Пример 3.1.При величина является бесконечно малой, а величина бесконечно большая.

Пример 3.2.Поскольку величина является ограниченной на всей числовой оси, то при величина является бесконечно малой.

Пример 3.3.При величина является бесконечно большой, а величины , бесконечно малыми.

Из приведённых выше теорем вытекает следующая теорема о правилах

-13-

вычисления пределов.

Теорема 3.7.Пусть , тогда:

если b , то .

Замечание 3.1.Поскольку где - константа, то из пункта 2) теоремы 3.7 вытекает, что

Приведём ещё несколько теорем о пределах для полноты изложения.

Теорема 3.7 ( о сжатой переменной).Если и , то

Теорема 3.8.Если ( ) и , то

Теорема 3.9.Если и то

Определение 3.6.Функция называется монотонно возрастающей на интервале , если из того, что , следует, что

Теорема 3.10.Если функция является монотонно возрастающей и ограниченной сверху, т.е. (снизу, т.е. ) на интервале , то существует конечный предел (

Замечание 3.2.В теореме 3.10 границы интервала и могут быть равными также и соответственно.

Непрерывные функции.

Определение 4.1.Функция называется непрерывной в точке , если

Определение 4.2.Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если

Определение 4.3.Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. -14-

Определение 4.4.Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке

Определение 4.5.Если функция не является непрерывной в точк , то она называется разрывной в этой точке.

Пример 4.1.Функция непрерывна всюду, кроме точки в точке она является непрерывной слева.

Теорема 4.1.Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Теорема 4.2.Пусть и непрерывны. Тогда , непрерывны; непрерывна, если

Теорема 4.3.Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём , то функция непрерывна в точке

Т.е. сложная функция непрерывных функций является непрерывной функцией.

Геометрически непрерывность функции означает, что её график является сплошной, неразрывной линией.