Исследование функций с помощью пределов (асимптоты графика функции)

Асимптота — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность

ü Вертикальная:

, x=a

ü Горизонтальная: , y=b

ü Наклонная:

, y=kx+b,если k=0, то y=b

Исследование функций с помощью производной (монотонность и экстремумы, направление выпуклости и точки перегиба).

· Монотонность: f’(x)≥0 – возрастает

f'(x)≤0 – убывает

· Экстремумы:

-max:f(x)<f( ), min:f(x)>f( )

-необходимое условие extr:если ф-я имеет в некоторой точке extr, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует – критические точки

-достаточное условие extr:если при переходе через точку ф-я меняет знак с + на -, то это max, если с – на +, то это min

если ф-я имеет вторую производную и производная в точке – отрицат, то это точка max, если в – положит, то это min: y’’( )<0 – max\ y’’( >0 – min\ y’’( =0 – нет

· Направление выпуклости:

-Если на пром-ке график лежит НЕ ВЫШЕ своих касательных, то он выпуклый вверх: f’’(x)≥0

-Если график лежит НЕ НИЖЕ своих касательных, то он выпуклый вниз: f’’(x)≤0 Точки перегиба – точки графика, где направление выпуклости меняется, y’’=0 или не сущ = критические точки второго рода

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если ф-я задана на отрезке, то наиб и наим значения достигаются либо в extr, либо на границах отрезка

Функции нескольких переменных.

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D

z=f(x,y)

Частные производные первого и второго порядков функции двух переменных.

– частное производное 1го порядка по х:

Полный дифференциал функции двух переменных.

Полным дифференциалом функции переменных называется главная линейная относительно приращений аргументов часть малого полного приращения функции:

Полный дифференциал равен сумме попарных произведений частных производных на дифференциалы соответствующих переменных:

Экстремум функции двух переменных. Критические точки.

Схема нахождения extr двух переменных:

· ,

· , => ( ; ) – критические точки

· ; ;

·

· ∆ = AC - : если ∆>0, то extr есть в т.( \если A>0, то min\если A<0, то max

если ∆<0, то extr нет в т.(

если ∆=0, то требуется доп исследование