Неявное задание кривой

Рассмотрим геометрическое место точек M(х, у), коорди­наты которых удовлетворяют уравнению:

,

(7)

где функция F(x,у) непрерывно дифференцируема по обоим аргументам в области U на плоскости xy.

Для того чтобы можно было утверждать, что это геоме­трическое место точек в окрестности некоторой точки М₀ области U образует линию (простую дугу), надо задать начальную точку М₀(х₀, у₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1) и не обращают в нуль одновременно обе частные производные:

.

(8)

Теорема 1. Пусть уравнение (7) допускает начальную точку ; функция непрерывно дифференцируема по каждому аргументу в окрестности начальной точки , и производная в этой точке отлична от нуля:

.

Тогда существует одна и только одна функция , которая в некоторой окрестности начальной точки удовлетворяет уравнению (7) и при принимает значение . Эта функция имеет в данной окрестности непрерывную производную

.

Доказательство данной теоремы следует из теорем о существовании неявной функции и её дифференцируемости.[12 пп.206, 207]

Итак, угловой коэффициент касательной равен , но тогда уравнение касательной в точке принимает вид:

,

(9)

а уравнение нормали имеет вид:

.

(10)

Следствие. Уравнение

,

где F(x,y)- функция, допускающая в области U плоскости непрерывные частные производные по обоим аргументам, не обращающиеся одновременно в нуль, определяет в этой области регулярный кусок кривой, если найдется в ней хотя бы одна точка М₀(х₀,у₀), координаты которой, удов­летворяют уравнению.

Особые точки

Мы предполагаем, что функция F(х,у) непрерывно дифференцируема три раза по обоим аргументам.

Условие регулярности кривой (7) нарушается в точках, где обе частные производные первого порядка равны нулю:

.

(11)

Следовательно, подлежат исследованию точки, координаты которых удовлетворяют трем уравнениям: (7), (11). Если в такой точке не все производные 2-го порядка равны нулю, то точка называется двойной.

1. Касательные в двойной точке.

Через двойную точку М₀ может прохо­дить не более двух ветвей кривой с угловыми коэффициен­тами касательных , определяемыми уравнением

,

(12)

где .

2. Изолированная точка.

Введем обозначение

.

Если , то в достаточно малом круге с центром M₀, кроме этой точки, нет других, координаты которых удовлетворяли бы уравнению(7).

Особая точка называется изолированной.

3. Точка самопересечения.

Если < 0, то через точку M₀ проходят две простые дуги с различными касательными (уравнение (12) имеет два различных корня к₁ и к₂).

Особая точка называется точкой самопересечения(узел).

4. Точки возврата и самоприкосновения.

Если в точке кривой (7) =0, то для исследования поведения кривой вблизи данной точки требуются более сложные рассуждения с привлечением производных 3-го (а порой и более высокого) порядка. Рассмотрим основные возможности, которые здесь представляются.

1) Вблизи точки , кроме неё самой, нет точек кривой, т.е. - изолированная точка (как и в п.2).

2) Через точку проходят две ветви кривой, имеющие в ней общую касательную.

a) Точка - точка самоприкосновения (рис. 3)

b) Точка - точка возврата первого рода (рис. 4)

c) Точка - точка возврата второго рода (рис. 5)

Рисунок 3	Рисунок 4	Рисунок 5

Асимптоты

Для отыскания асимптот, параллель­ных оси абсцисс, надо искать пре­дельное значение ординаты y=b при . Если кривая — алгебраическая (F(x,у) — многочлен), то достаточно прирав­нять к нулю коэффициент при старшей степени х. Если полу­ченное уравнение допускает решение y=b_i, то оно даст все асимптоты:

.

Действительно, если собрать члены с одинаковыми степе­нями х и записать уравнение кривой в виде

,

то, деля любые части уравнения на x^p:

и переходя к пределу при , , заметим, что все функции обратятся в и сохранят конечные значения, следовательно, все члены уравнения, имеющие делителем х, обратятся в нуль, и для определения b мы получим уравнение

.

Аналогично находятся асимптоты, параллельные оси ординат.

Чтобы найти асимптоты, не параллельные осям координат ,

надо найти пределы .

Полагая , подставляя в уравнение и исключая ординату, мы получаем уравнение:

надо найти

.

Аналогично, полагая

,

исключаем из уравнения F(x,у)=0 ординату у. Поскольку k известно, получаем уравнение:

и снова имеем:

.