ПЕРВЫЙ ТЕСТОВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА

 

Известно, что с помощью введения переменных состояния нелинейное дифференциальное уравнение (1.1) можно свести к нелинейному векторному дифференциальному уравнению вида

 

. (1.12)

 

Если нелинейность выражается однозначной аналитической функцией, то в рабочей стационарной точке и вблизи нее первые частные производные , и нелинейных функций конечны, однозначны и непрерывны. Поэтому нелинейную векторную функцию (1.12) можно линеаризовать, используя первые два члена ряда Тейлора – так называемое «первое приближение». В этом случае, отбрасывая члены выше первого порядка малости, получаем приближенное уравнение линеаризованной модели нелинейной системы в переменных пространства состояний

 

. (1.13)

 

Или записывая в иной форме, получим

 

, (1.14)

, (1.15)

 

где элементы матриц A, B и B₁ соответственно равны , и ; матрица C – матрица выходов.

Первая теорема Ляпунова об устойчивости утверждает, что если нелинейная система заменена линейной моделью первого приближения и полученное при этом характеристическое уравнение

 

, (1.16)

 

векторного дифференциального уравнения

 

, (1.17)

 

имеет корни с ненулевыми действительными частями , то вопрос об устойчивости решается на основе линейной аппроксимации исходного нелинейного уравнения. В этом случае нелинейности выше первого порядка малости не влияют на устойчивость системы. Если же действительная часть какого-либо корня равна нулю, то данный критерий неприменим к исследуемой системе, так как отброшенные нелинейности влияют на устойчивость и их необходимо учитывать при решении вопроса об устойчивости системы.

 

В отдельные группы линеаризации можно отнести гармоническую линеаризацию и статистическую.

 

В дальнейшем будут рассматриваться линейные или линеаризованные детерминированные математические модели ХТП и ХТС с сосредоточенными параметрами. Кроме того, учитывая, что ХТП и ХТС являются сложными системами, то далее будет использоваться термин «динамическая система» - (ДС) как более общее понятие, включающее в себя понятие ХТП и ХТС.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Пример 2.1

 

Линеаризовать нелинейные уравнения динамического режима смесителя (рис. 1.1), описывающие изменения уровня L и концентрации Q_3A в зоне идеального смешения, полученные на основе уравнений сохранения масс для потоков в целом и для вещества А:

 

, (2.1-1)

 

, (2.1-2)

 

, (2.1-3)

 

где – расход i-го потока, м³/c; – концентрация вещества А в i-м потоке, кг/кг; L – уровень жидкости в смесителе, м; А_с – площадь поперечного сечения смесителя, м²; s – проходное сечение клапана на сливном трубопроводе, м²; a - коэффициентом расхода жидкости через клапан; g - ускорение свободного падения, м/с².

 

Решение

Для линеаризации системы уравнений ДС необходимо провести линеаризацию каждого уравнения. Так как данные функции аналитические, то они допускают разложение в ряд Тейлора.

В рассматриваемой математической модели выходными параметрами являются Q_3A и L, управляющими воздействиями u(t) – s и F₂, возмущающими r(t) – F₁, Q_1A, Q_2A.

 

 

Рис. 1.1. Схема смесителя с отводом жидкости самотеком

 

 

Полученную нелинейную модель можно линеаризовать в рабочей точке (L⁰, Q⁰_3A) в соответствии с выражением (1.8). Для этого уравнение (2.1-2) преобразуем к виду

 

. (2.1-4)

 

Затем умножим уравнение (2.1-1) на -Q⁰_3A и сложим с уравнением (2.1-4), получим

 

.

(2.1-5)

Уравнения (2.1-1), (2.1-3) и (2.1-5) можно записать в виде уравнения (1.1)

 

, (2.1-6)

 

где

,

 

.

 

.

Линеаризованное уравнение динамики процесса смешения в отклонениях, в соответствии с выражениями (1.8), (1.9) и учетом того, что переменные s и L неразделимы в выражении (2.1-6), можно записать в виде

 

 

 

. (2.1-7)

 

Поскольку в рабочей точке выполняются соотношения:

 

, ,

и

,

 

то оставляя в левой части уравнения (2.1-7) только функции от y(t) и py(t), получим

 

 

.

(2.1-8)

 

Введем относительные величины:

, , , ,

(2.1-9)

 

и запишем уравнение (2.1-8) в виде

 

 

. (2.1-10)

 

Матричное дифференциальное уравнение (2.1-10) представляет собой линеаризованную математическую модель смесителя, записанную в символической форме (2.11).

 

Рассмотрим нелинейную модель изменения уровня жидкости в смесителе – уравнения (2.1-1) и (2.1-3).

Объединяя их, получаем

. (2.1-11)

 

Модель в отклонениях имеет вид

 

.

(2.1-12)

 

Для представления модели в относительных величинах, введенных ранее, запишем уравнение (2.1-12) в виде

 

 

. (2.1-13)

 

Учитывая, что

, (2.1-14)

уравнение (2.1-13) принимает вид

 

, (2.1-15а)

или в виде

 

. (2.1-15б)

 

Моделирование нелинейного дифференциального уравнения (2.1-15), соотношения (2.1-14) и относительных величин u₁, u₂, r₁, и y₂ выполняем в среде MATLAB+Simulink, рис.1.2.

 

Линеаризованная математическая модели уровня жидкости в смесителе в относительных величинах имеет следующий вид:

 

, (2.1-16а)

или

, (2.1-16б)

 

т. е. описывается линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Решение уравнения (2.1-16) при нулевых начальных условиях и ступенчатых воздействиях имеет вид

 

 

.

(2.1-17)

 

 

 

Рис. 1.2. Схема моделирования нелинейной математической модели изменения уровня жидкости в смесителе

 

 

Схемы моделирования уравнений (2.1-15) и (2.1-16) представлены на рис. 1.3.

Уравнения моделировались при значениях T₁=635.8 c, T₂=2543.2 c, T₃=508.6 c.

Установившиеся значения y₂ при u₂=0.1 для уравнения (2.1-15) составляет -0.1736, для уравнения (2.1-16) – -0.2, т. е. ошибка линеаризации равна 15.21% (2.64%). Соответственно ошибка при u₂=0.05 равна 7.56% (0.7%), а при u₂=0.03 – 4.53%. Соответственно u₁=0.1 – 1%, r₁=0.1 – 3.85%. Из этого следует, что при малых изменениях входных величин (u₁=0.1, u₂=0.03, r₁=0.1) линеаризованная модель достаточно точно описывает процесс изменения уровня жидкости в смесителе (рис. 1.4).

 

 

 

Рис. 1.3. Схемы моделирования уравнений (2.1-15) и (2.1-16)

 

 

Рис. 1.4. Динамика изменения выходных величин y₂ при u₂=0.1

 

 

Пример 2.2

 

Линеаризовать нелинейные уравнения движения ДС

 

(2.2-1)

 

вблизи окрестности стационарной точки при и представить полученные уравнения в матричной форме.

 

Решение

Линеаризацию системы уравнений ДС можно провести двумя способами:

1. Линеаризовать каждое уравнение системы с последующим их объединением и представлением в виде векторного дифференциального уравнения (1.11);

2. На основе уравнения (1.8) с использованием матрицы Якоби с последующим представлением векторным дифференциальным уравнением вида (1.11).

Так как функции в системе (2.2-1) аналитические, то допускают разложение в ряд Тейлора.

 

1. Продифференцируем каждое уравнение системы (2.2-1) по входящим в него параметрам, получаем

 

(2.2-2)

Перенесем члены с параметрами в левую часть. Учитывая, что , вынесем за скобки, получим

 

(2.2-3)

 

Введем векторы , и представим систему уравнений (2.2-3) в форме (1.11), получим

 

. (2.2-4)

 

2. Введем векторы , . Представим систему уравнений (2.2-1) в виде (1.1), где

 

, .

 

В соответствии с уравнением (1.8) находим якобианы и получаем

 

.

(2.2-5)

Учитывая, что , вынесем за скобки и получим линеаризованную систему в форме (1.11)

 

. (2.2-6)

 

Для получения линеаризованных уравнений в численной форме необходимы значения выходных и входных величин и их частных производных в стационарном состоянии ДС (2.2-1). Значения выходных величин при определяются из системы уравнений

 

(2.2-7)

 

Решение данной системы уравнений проведем в MATLAB с использованием функции solve.

Ниже приведен листинг программы с результатами решения.

 

>> syms y1 y2;

>> S=solve('2*y1^3*y2^2=2', 'y1/(1+y2)=0.5', y1, y2)

 

S =

 

y1: [5x1 sym]

y2: [5x1 sym]

 

>> S.y1

 

ans =

1.0

0.426*i - 0.444

0.680*i + 0.444

0.444 - 0.680*i

- 0.426*i - 0.444

 

>> S.y2

 

ans =

1.0

0.852*i - 1.888

1.361*i - 0.112

- 1.361*i - 0.112

- 0.852*i - 1.888

 

Учитывая физическую природу рассматриваемой системы (ХТП и ХТС) берем стационарное состояние , определяемое действительными значениями.

В численной форме соответственно получаем

 

(2.2-8)

 

Пример 2.3

 

Линеаризовать нелинейные уравнения движения ДС

 

(2.3-1)

 

вблизи окрестности стационарной точки при и представить полученные уравнения в матричной форме.

 

 

Решение

Введем векторы , . Представим систему уравнений (2.3-1) в виде (1.1), где

 

, .

 

В соответствии с уравнением (1.8) находим якобианы и получаем

 

 

.

(2.3-2)

Следовательно, математическая модель линеаризованной непрерывной многосвязной системы в физических переменных «вход-выход» может быть представлена векторным дифференциальным уравнением вида (1.11)

 

.

(2.3-3)

Для получения линеаризованных уравнений в численной форме необходимы значения выходных и входных величин и их частных производных в стационарном состоянии ДС (2.3-1). Значения выходных величин при определяются из системы уравнений

 

(2.3-4а)

или

(2.3-4б)

 

Решение данной системы уравнений проведем в MATLAB с использованием функции solve.

Ниже приведен листинг программы с результатами решения.

 

>> syms y1 y2;

S=solve('2*y1^3*y2^2=2*2.72-2', 'y1/(1+y2)=3', y1, y2)

 

S =

 

y1: [5x1 sym]

y2: [5x1 sym]

 

>> S.y1

 

ans =

 

3.58

1.85 - 0.77*i

0.77*i + 1.85

- 0.81*i - 0.64

0.81*i - 0.64

 

>> S.y2

 

ans =

 

0.19

- 0.26*i - 0.38

0.26*i - 0.38

- 0.27*i - 1.21

0.27*i - 1.21

 

Учитывая, что рассматривается ХТП или ХТС, то берем стационарное состояние , определяемое действительными значениями.

В численной форме соответственно получаем

 

. (2.3-5)

 

Пример 2.4

 

Линеаризовать нелинейные уравнения математической модели динамического режима ферментера типа ФЕМН.

Рассмотрим процесс накопления биомассы анаэробных микроорганизмов в емкостном аппарате с перемешиванием (рис.5). Кинетика процесса лимитируется концентрацией субстрата в ферментационной среде, экономический коэффициент по субстрату (выход биомассы на единицу массы потребленного субстрата) имеет постоянное значение, дополнительная подача воздуха в ферментер отсутствует ( P=0 ). Математическая модель ферментера при данных условиях имеет вид :

, (2.4-1)

 

, (2.4-2)

где X и S – концентрации биомассы в объеме ферментационной среды, S₀ – концентрация субстрата в питательном потоке, - предельное значение удельной скорости роста биомассы, K_s – константа насыщения, D – скорость разбавления, -экономический коэффициент по субстрату, t – время пребывания среды в аппарате.

С целью сокращения числа параметров модели и обобщения результатов представим математическую модель ферментера в безразмерном виде. Для этого введем обозначения:

(2.4-3)

Дать физический смысл обозначениям.

Выразив через них абсолютные величины и подставив их в уравнения (2.4-1) и (2.4-2), получим математическую модель ферментера непрерывного действия в безразмерном виде.

Поведение ферментера в динамике описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений (2.4-4) и (2.4-5), записанных в безразмерном виде

, (2.4-4)

 

. (2.4-5)

 

В общем виде представленные выше зависимости можно записать как:

и .

 

Переменные x и y представляют собой обобщенные переменные состояния ферментера, характеризующие условия протекания процесса в нем, а y₀ и - обобщенные переменные управления, используемые для корректировки хода процесса (как их использовать?).

 

 

Рис. 5. Проточный ферментер непрерывного действия.

 

Исследуем протекание процесса ферментации в окрестности стационарного режима. Линеаризованную модель запишем в абсолютных отклонениях переменных от стационарного состояния.

Стационарный режим характеризуется значениями входных переменных и y₀ =y₀⁰ . Выходные переменные ферментера при заданном стационарном режиме определяются по зависимостям

и x⁰ = y₀⁰- y⁰. (2.4-6)

 

Математическая модель стационарного режима ферментера имеет вид

, (2.4-7)

. (2.4-8)

 

Для линеаризации разложим уравнения (2.4-7) и (2.4-8) в ряд Тейлора и отбросим слагаемые второго и более высокого порядка малости. В результате получим

(2.4-9)

 

. (2.4-10)

 

Для переноса начала координат в точку стационарного режима (x⁰,y⁰) проведем вычитание уравнений (2.4-7) и (2.4-8) из уравнений (2.4-9) и (2.4-10), принимая во внимание, что из уравнения (2.4-7) получим:

 

 

 

Линеаризованная математическая модель ферментера в абсолютных отклонениях окончательно может быть представлена в виде:

 

, (2.4-11)

 

, (2.4-12)

 

где A=

Полученная система линейных уравнений описывает динамику рассматриваемого ферментера в окрестности стационарного режима.

 

 

ЗАДАЧИ

 

Линеаризовать нелинейные уравнения движения ДС вблизи окрестности стационарной точки при заданном значении и представить полученные уравнения в матричной форме:

 

3.1 при .	3.2 при .
3.3 при .	3.4 при .
3.5 при .	3.6 при .
3.7 при .	3.8 при .
3.9 при .	3.10 при .
3.11 при .	3.12 при .

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

 

1.	Чаки Ф. Современная теория управления. Нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. – М.: Мир, 1975 – 424 с.
2.	Янушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973 – 464 с.
3.	Инженерные основы биотехнологии. Учебное пособие для студентов Высшей инженерной школы. Под редакцией проф. Д.Г. Победимского. М.: ИПЦ МИТХТ, 1998 – 387с.

 

 

 

Издание учебное

 

 

Божко Виктор Иванович

Ирина Павловна Титова

 

 

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Часть 1. Линеаризация уравнений движения нелинейной

динамической системы.

 

 

Учебное пособие

 

Подписано в печать Формат 60х84/16. Бумага писчая. Отпечатано на ризографе. Уч. издательских листов ……....

Тираж 100 экз. Заказ №

 

 

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова

 

Издательско-полиграфический центр

 

119571 Москва, пр. Вернадского, 86.