Классификация колебательных процессов

Свободные колебания.

Вынужденные колебания.

Параметрические колебания.

Автоколебания (самовозбуждающиеся колебания).

Свободные колебания. Свободные колебания совершаются при отсутствии переменного внешнего воздействия, без притока энергии извне. Такие колебания могут происходить лишь в автономных системах (рис. 1).

Вынужденные колебания. Такие колебания имеют место в неавтономных системах, и их источниками являются переменные внешние воздействия (рис. 2).

Параметрические колебания. Параметры колебательной системы могут изменяться во времени, и это может стать источником колебаний. Такие колебания называются параметрическими. Верхняя точка подвеса физического маятника (рис. 3) совершает колебания в вертикальном направлении , вследствие чего маятник совершает параметрические колебания вокруг шарнира. На вертикальный стержень в продольном направлении действует периодическая сила P(t), вызывая поперечные колебания стержня (рис. 4). Правая опора балки колеблется в горизонтальном направлении по закону , что служит причиной возникновения поперечных параметрических колебаний (рис. 5).

Автоколебания (самовозбуждающиеся колебания). У таких колебаний источники имеют неколебательную природу, и при этом сами источники включены в колебательную систему. На рис. 6 показана масса на пружине, лежащая на движущейся ленте. На неё действуют две силы: сила трения и упругая сила натяжения пружины, и они меняются во времени. Первая зависит от разности скоростей ленты и массы, вторая от величины и знака деформации пружины, поэтому масса находится под воздействием равнодействующей силы, направленной то влево, то вправо и совершает колебания.Во втором примере (рис. 7) левый конец пружины перемещается вправо с постоянной скоростью v, вследствие чего пружина перемещает груз по неподвижной поверхности. Образуется ситуация, подобная описанной для предыдущего случая, и груз начинает колебаться.

2. http://vunivere.ru/work45156?screenshots=1

Основными характеристиками механических колебаний являются амплитуда, период, частота и фаза колебаний.

Амплитуда – это модуль максимального отклонения тела от положения равновесия.

Период – это время одного полного колебания. (Т, секунды)

Частота – число полных колебаний, совершаемых за единицу времени.(ν, Герцы)

Период и частота связаны формулой:

Простейший вид колебательного движения – гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний: , где амплитуда, . Величина, стоящая под знаком косинуса (угол), называется фазой. Фаза равна: .

3. Зависимость амплитуды и начальной фазы колебаний от начальных условий.

Решения дифференциального уравнения колебаний определены с точностью до постоянной величины, поэтому таких решений бесчисленное множество. Выбор решения для данной конкретной колебательной системы можно сделать, если задать ее поведение в начальный момент времени, то есть начальные условия. Например, если просто отклонить маятник, растянув пружину, а затем спокойно отпустить его, или отклонить, а затем подтолкнуть маятник, то движения маятника будут различными. Рассмотрим зависимость параметров колебательной системы от начальных условий.

Пусть при t = 0 смещение системы от положения равновесия равно х₀, а начальная скорость v₀. Гармоническое колебание описывается уравнением . При t = 0 имеем два уравнения: , .

Возведя в квадрат оба уравнения и сложив их, получим уравнение для амплитуды:

Поделив одно уравнение на другое, получим соотношение для начальной фазы:

.

Таким образом, и амплитуда, и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий колебательной системы.

4.

Линейным одномерным гармоническим осциллятором называют частицу массы , совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы . Уравнение движения . Собственная частота классического гармонического осциллятора , откуда . Потенциальная энергия осциллятора . Рассмотрение колебательной системы методами квантовой механики: уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы в параболической потенциальной яме . Преобразуем это уравнение следующим образом ; . Введем обозначения: и . Тогда . Решение этого уравнения должно удовлетворять следующим требованиям: 1) симметрична относительно начала координат, следовательно, должно быть тоже симметрична по отношению к началу координат ( - симметрична или асимметрично); 2) при . Предположим, что - решение уравнения Шредингнра. Тогда и . Подставляя решение в уравнение Шредингера, получим или . Отсюда следует, что искомая функция будет решением при . Тогда . Следовательно, . Состояние с энергией - основное квантовое состояние осциллятора. Возможные значения полной энергии гармонического осциллятора или , . Энергетический спектр квантового гармонического осциллятора является дискретным, а уровни энергии - эквидистантны . Взаимодействие квантового осциллятора с фотоном (излучение или поглощение света) приводит к изменению вида функции: превращает симметричную функцию в антисимметричную, и наоборот. Это приводит к необходимости правила отбора . Поэтому квантово-механический осциллятор способен поглотить лишь и осуществить при этом переход только на соседний уровень. Из условия нормировки , тогда . Т.к. функция симметрична относительно начала координат, то . Откуда или . Таким образом . Если известен вид функции , то можно найти все другие величины. Среднее значение координаты: . Среднее значение проекции импульса . . В квазиклассическом приближении . Отсюда следует, что средние значения потенциальной и кинетической энергий осциллятора равны: ; . Значениям энергии соответствуют собственные функции . Все функции должны быть симметричны относительно начала координат Функции - либо симметричны, либо антисимметричны. При . Если все эти функции стремятся к нулю на бесконечности, то они должны содержать множитель ( ). Решение уравнения Шредингера для произвольных имеет вид: , где - это полином Чебышева-Эрмита, степень которого возрастает с увеличением ; - это нормировочный множитель . Следовательно, . Конкретный вид полиномов: ; ; и т.д. Некоторые особенности классических и квантовых осцилляторов. 1. Разрешенные значения для квантово-механического осциллятора представляют собой набор эквидиситантных энергетических уровней, а собственные - функции – набор стоячих волн, заключенных в потенциальной яме параболической формы. Для классического осциллятора границы этой ямы определяют границы пространства, в котором может быть локализована частица. Расстояние по оси от до . График - функции, являющейся решением уравнения Шредингера, выходит за рамки ограничивающей кривой . Такое поведение - функции связано с тем, что она должна быть непрерывной и гладкой везде, в том числе и в точках поворота, и при этом должно выполняться соотношение неопределенности. 2. Вероятность локализации классического осциллятора в окрестностях точки с координатой в потенциальной яме является наибольшей в точках поворота (где скорость ), т.е. на стенках параболы. Для квантово-механического осциллятора имеет конечное значение и на границах ямы и на некотором расстоянии от нее. Следовательно, существует конечная вероятность локализации частицы вне пределов ямы. Наибольшая вероятность локализации частицы - в точках, соответствующих «пучностям» - функций. Для больших функция имеет распределение, близкое к классическому. В этом проявляется принцип соответствия.Начало формы

5. Колеблющееся тело (осциллятор) обладает кинетической энергией и потенциальной W_пот.

Поскольку х = Аcos(ω₀t), то ,

Потенциальная энергия зависит от смещения х и равна

Подставляя х = Аcos(ω₀t) и k = ω₀²m, имеем

Зависимости W_кин(t)и W_пот(t) показаны на рис. 11.

Полная энергия осциллятора равна

(2) Рис. 11. Зависимость смещения х, кинетической энергии и

потенциальной энергии от времени t.

Итак: полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна его массе, квадрату собственной частоты и квадрату амплитуды.

Заменив ω₀² = k/m, получаем, что полная энергия пропорциональна коэффициенту упругости и квадрату амплитуды (2).