Классический метод проверки гипотез

При использовании классического метода проверки гипотез в соответствии с поставленной задачей и на основании выборочных данных выдвигается гипотеза , называемая нулевой гипотезой. Одновременно с выдвинутой гипотезой , рассматривают противоположную ей гипотезу , называемую альтернативной.

Для проверки нулевой гипотезы необходимо ввести специально подобранную случайную величину , распределение которой известно и называется ее критерием. Вследствие того, что для генеральной совокупности гипотеза принимается по выборочным данным, то она может быть ошибочной. При этом различают следующие ошибки.

Ошибка первого рода - заключается в том, что гипотезу отвергают, когда она на самом деле верна. Для определения вероятности ошибки первого рода вводят параметр , т.е. вероятностью того, что будет принята альтернативная гипотеза , при условии, что гипотеза верна. Величину называется уровнем значимости, который выбирается, как правило, в пределах от 0,001 до 0,1.

Ошибка второго рода заключается в том, что отвергают альтернативную гипотезу , когда она на самом деле верна.

Вероятность ошибки второго рода определяется параметром , т.е. вероятностью того, что будет принята гипотеза , при условии, что альтернативная гипотеза верна. Величину , то есть недопустимость ошибки второго рода, принято называть мощностью критерия.

Множество всех значений критерия разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается; другое – при которых она принимается. При этом совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, принято называть критической областью .

Совокупность значений критерия, при которых принимают нулевую гипотезу,называют областью принятия гипотезы или областью допустимых значений.

Гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза в том случае, когда вычисленное по выборке значение критерия попадает в критическую область . В данном случае может быть совершена ошибка первого рода, вероятность которой равна . Иначе, вероятность того, что критерий примет значение из критической области , должна быть равна заданному значению , то есть .

Возможны три случая расположения критической области , которые определяются видом нулевой и альтернативной гипотез и законом распределения критерия .

Первый случай: критическая область правосторонняя (рис.1.5 а), состоящая из интервала , где определяется из условия и называется правосторонней точкой, отвечающей уровню значимости .

Рис. 1.5. Виды критической области

Второй случай: критическая область - левосторонняя (рис. 1.5 б), которая состоит из интервала , где определяется из условия , и называется левосторонней точкой, отвечающей уровню значимости .

Третий случай: критическая область - двусторонняя (рис. 1.5 в), которая состоит из двух интервалов: и , где точки и определяются из условий и и называют двусторонними критическими точками.

Проверка нулевой гипотезы осуществляется по следующему алгоритму:

1.Формулируется нулевая и альтернативная гипотезы по располагаемой выборке.

2.Выбирается критерий проверки гипотезы , которая зависит от выборочных данных и условия рассматриваемой задачи. Наиболее часто используются случайные величины, имеющие такие законы распределения как нормальный, Стъюдента, Фишера-Снедекора, хи-квадрат.

3.Задается уровень значимости выбранного критерия и определяется соответствующая ему критическая область. Для определения критической области находят критическую точку - ее границу. Для каждого критерия имеются таблицы, по которым и находят критическую точку.

4.Вычисляют значение критерия по результатам произведенных измерений и сравнивают с критической точкой.

5.Нулевая гипотеза отвергается в случае, когда вычисленное значение критерия попадает в границы критической области, или ее считают справедливой в случае, когда значение критерия оказывается внутри области допустимых значений.