Составление эквивалентной операторной схемы

3. Расчет операторной схемы любым расчетным методом в операторной форме, преобразование изображения X(p) искомой величины к виду рациональной дроби.

4. Определение оригинала x(t) по X(p), т.е. обратный переход.

Определение оригинала x(t) по изображению X(p)

Оригинал можно определить описанными ниже способами.

Использование обратного преобразования Лапласа

, (2.1)

которое представляет собой решение интегрального уравнения относительно неизвестной функции f(t) и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (2.1) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменного p, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции F(p). Такой способ в прикладных задачах электротехники не используется.

Табличный метод. Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в математических и электротехнических справочниках. При использовании этого способа возникают трудности, связанные с распознаванием и сведением функций к табличному виду.

Использование теоремы о вычетах или теоремы разложения.

Для каждой функции времени, входящей в уравнение Кирхгофа, описывающего расчетную цепь, устанавливается в соответствие операторное изображение, после чего система линейных дифференциальных уравнений переписывается в виде системы алгебраических уравнений (также получаем операторную схему замещения). Система алгебраических уравнений рассчитывается относительно операторного изображения искомой величины, по которому с помощью теоремы разложения находится оригинал.

Теорема разложения имеет две модификации в зависимости от вида операторного изображения искомой величины:

1) _·=^· , (2.2)

где n – порядок цепи,

p_i – простые корни характеристического уравнения N(p) = 0;

.

2) _·=^· , (2.3)

где p_i – корни характеристического уравнения F₃(p) = 0.

В этом случае знаменатель имеет один нулевой корень, на это указывает наличие в составе знаменателя множителя p. Теорема разложения в форме (2.3) соответствует сигналам, имеющим принужденную составляющую.

Если уравнение второго порядка, соответствующее цепи второго порядка, F₂(p) = 0 имеет комплексные сопряженные корни и , то достаточно вычислить слагаемое сумм (2.2) или (2.3) только для корня , а для сопряженного корня взять значение, сопряженное этому слагаемому. Сумма, соответствующая этим двум слагаемым, равна удвоенному значению действительной части, найденной для одного из корней:

_·=^· (2.4)

Или

_·=^· .

3. Пример расчета переходного процесса

В цепи II порядка

Дана цепь (рис. 2.3) с параметрами Е = 30 В , J = 2 А , R₁ = 20 Ом , R₂ = 10 Ом, С = 100 мкФ , L = 50 мГн .

Определить закон изменения тока i₁(t) после коммутации.