Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций»

Красноярск 2016

Составители: доцент Л.М. Коренюгина,
старший преподаватель Е.С. Разгулина

 

Коренюгина Л.М., Разгулина Е.С.

МаТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Практические задания по дисциплине для студентов очной формы обучения направления 38.03.01 Экономика

/ Л. М. Коренюгина, Е. С. Разгулина. – Красноярск: АНО ВО СИБУП, 2016. – с.

 

 

Все темы сопровождаются расчётными примерами с обстоятельными пояснениями. Предложены варианты выполнения контрольной работы.

 

 

Методические указания утверждены и одобрены к печати научно–методическим советом СИБУП от 2016 г. Протокол №

 

 

Коренюгина Л. М., Разгулина Е. С., 2016

АНО ВО Сибирский институт бизнеса, управления и психологии, 2016

 

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 4

Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций». 5

Тема 2: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». 17

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» 29

Тема 4: «Интегральное исчисление». 41

Тема 5: «Дифференциальные уравнения». 50

Тема 6: «Ряды». 85

Итоговая контрольная работа №1 по темам 1,2,3. 96

Итоговая контрольная работа №3 по теме 5. 102

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 104

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций»

 

Пример1.1

Найти область определения функции, исследовать заданную функцию на чётность.

1. a) f(x)= arctg( ); b) f(x)= -ctg(2x);

Решение:

А)) f(x)= arctg( );

 

 

b) f(x)= -ctg(2x);

 

Пример1.2.

Найти предел

Здесь мы имеем с неопределенностью вида .

Разложим в числителе данное выражение на множители

Пример1.3.

Найти предел

Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Разделим числитель и знаменатель данной дробно-рациональной функции на (на x в наивысшей степени). Тогда используя свойства пределов, получим

Пример1.4.

Найти предел

 

Здесь мы имеем с неопределенностью вида ¥–¥. Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):

Пример1.5.

Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Умножим числитель и знаменатель на точно такое же выражение, стоящее в знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми:

 

Пример1.6.

Здесь мы имеем с неопределенностью вида . При вычислении данного предела воспользуемся методом эквивалентных бесконечно малых величин.

= Пример1.7.

Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Преобразуем выражение, стоящее в скобках, следующим образом

.

Тогда исходный предел можно преобразовать так:

Предел выражения в квадратных скобках, в соответствии со вторым замечательным пределом, равен

.

В результате получаем

.

Пример1.8.

 

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

 

a ) ; b ) ; c ) ;

d ) ;

Решение:

а) ;

 

 

b )

;

c ) ;

=0

=0

 

 

d )

Здесь мы имеем с неопределенностью вида .

При вычислении данного предела воспользуемся методом замены и методом эквивалентных бесконечно малых величин.

Пример 1.9.

Задана функция y=f(x) и два значения аргумента x и x . Требуется:

1) найти область непрерывности функции и установить, является ли данная функция непрерывной для каждого из заданных значений аргумента;

2) в случае разрыва функции сделать вывод о характере точки разрыва;

3) сделать схематический чертёж в окрестности точки разрыва.

f(x)= 12 , x = 1 , x = 0 ;

 

Данная функция элементарная

1) Область определения

Д(х)=

Во всех точках определения функция непрерывна

 

В точке x₁ = 1 функция непрерывна

определим характер точки разрыва

Для этого найдем односторонние пределы

 

 

В точке x₂ = 0 функция терпит разрыв второго рода

 

 

Пример 1.10.

Найти точки разрыва функции и определить характер разрыва. Построить график функции.

f(x)=

Данная функция задана тремя элементарными функциями, определенными на различных интервалах изменения х.

Функция непрерывна на каждом интервале

Разрыв возможен только в точках x₁ = -1, x₂ =0, где меняется аналитическое выражение функции

Для этого найдем односторонние пределы

 

В точке x₁ = -1 функция непрерывна

f(0)не определено

В точке x₂ = 0 функция терпит разрыв первого рода (односторонние пределы конечные числа не равные между собой)

 

Тема 2: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

 

Пример 2.1. Найти производную

При вычислении производной данной функции следует использовать правило дифференцирования частного: . В результате получим

Пример 2.2. Найти производную

 

Пример 2.3. Найти производную

 

Пример 2.4. Найти производную

 

Пример 2.5. Найти производную

 

Пример 2.6. Найти производную

 

Пример 2.7. Найти производную

.

 

Пример 2.8.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x³–3x+1 на отрезке [1/2; 2].

Ответ :

Пример 2.9.

Составьте уравнение касательной в точке

Решение:

Найдем производную:

.

касательная

Ответ : касательная к графику функции в точке

 

Пример 2.10. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию.

Построить график этой функции, используя результаты исследования.

Общая схема исследования:

1. Область определения

2. Точки пересечения с осями координат

С ось ох =>у=0

3. Четность-нечетность, периодичность.

4. Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания функции.

5. Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости.

6. Асимптоты вертикальные и наклонные.

7. График.

2) Область определения Д(х)=

3) Точки пересечения с осями координат

С ось ох =>у=0

Нет точек пересечения с осями координат

3) Четность-нечетность, периодичность

не является четной и не является нечетной, график не симметричен относительно оси оу и начала координат.

Функция не содержит тригонометрических выражений - не является периодической.

4)Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания.

точки экстремума х= и х=

Найдем знак первой производной на промежутках области определения

х
	+		-	Не опр	-		+
у		макс		Не опр		мин

5)Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости

=

действительных корней нет, точек перегиба нет . Найдем знак второй производной на промежутках области определения.

х		-1
	-	Не опр	+
у		Не опр

6) Асимптоты

У=кх+в

К=

в=

У=3х-5–наклонная асимптота

Вертикальные асимптоты

Х=1 точка разрыва

= = = =

= = = =

Пример 2.11.

 

Вычислить предельную выручку, если известны уравнения спроса10q+p-100=0 и значения цены р=80 на продукцию (- количество продукции. р-цена продукции) Что она показывает?

оптимальная цена, при которой получаем максимальную выручку и при которой спрос равен передложению

Количество товара, которое можно продать с учетом спроса при оптимальной цене.

 

Пример 2.12.

Функции спроса и предложения имеют вид - спроса, - предложения.

Найти: 1) равновесную цену ;

2) эластичность спроса и предложения для этой цены .

1) равновесная цена находится в случае, если спрос равен предложению

 

 

оптимальная цена, при которой получаем максимальную выручку и при которой спрос равен передложению

Количество товара, которое можно продать с учетом спроса при оптимальной цене.

Спрос на товар по оптимальной цене

 

2) эластичность спроса и предложения для этой цены .

Эластичностью функции f(x) в точке x₀ называют предел

Спрос – это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E_D – это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если |E_D| > 1, то спрос называется эластичным, если |E_D| < 1, то неэластичным. В случае E_D = 0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.