Указания к выполнению домашнего задания 2

Домашнее задание 2.

 

Задача 5. Определение числовых характеристик дискретной случайной величины.

 

Закон распределения случайной величины Х задан таблицей:

 

xi	-1
pi	P1	P2	?	P4	P5

 

Найти недостающее значение вероятности; , моду и медиану случайной величины Х. Чему равна вероятность , ? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Задача 6. Определение числовых характеристик непрерывной случайной величины.

Случайная величина Х распределена с постоянной плотностью С в промежутке [Q₁,Q₂]; попадает с вероятностью Rв промежуток [Z₁, Z₂] и имеет там плотность распределения вида . Для остальных значений Х . Требуется:

1. Найти недостающие значения параметров.

2. Указать плотность распределения, функцию распределения и построить их графики.

3. Вычислить математическое ожидание , дисперсию D_x, среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Найти вероятность .

Задача 7. Решить задачу, используя нормальное распределение:

Измеряемая случайная величина Х подчиняется закону распределения . Определить:

1. Вероятность того, что случайная величина не превосходит значение ;

2. Вероятность того, что случайная величина изменяется от αдо β;

3. Вероятность того, что случайная величина отличается от среднего не более чем на значение в ту или другую сторону;

4. Симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью попадает измеряемое значение.

Данные для задачи 5:

№ вар.
	0,11	0,27	0,1	0,23
	0,11	0,4	0,08	0,17
	0,13	0,22	0,06	0,3
	0,11	0,27	0,1	0,26
	0,13	0,28	0,08	0,19
	0,13	0,23	0,05	0,17
	0,11	0,37	0,05	0,3
	0,13	0,3	0,06	0,14
	0,15	0,32	0,09	0,23
	0,12	0,27	0,1	0,15
	0,14	0,37	0,07	0,29
	0,11	0,22	0,08	0,28
	0,1	0,24	0,1	0,14
	0,15	0,4	0,09	0,15
	0,13	0,37	0,1	0,17
	0,1	0,4	0,09	0,16
	0,13	0,26	0,07	0,26
	0,14	0,34	0,06	0,12
	0,1	0,26	0,05	0,15
	0,15	0,25	0,08	0,11
	0,1	0,3	0,08	0,13
	0,11	0,32	0,1	0,2
	0,14	0,27	0,1	0,2
	0,14	0,39	0,05	0,22
	0,13	0,23	0,07	0,18

Данные для задачи 6:

 

№ вар.	Q1	Q2	Z1	Z2	z3	R	C	A
	-1 -4 -1 -3 -3 -1 -3 -1 -1 -4 -3 -3 -1 -2 -1 -3 -4 -2 -3 -4	-1 -1 -2 -1 -1 -2 -1 -1	-3 -3 -3 -2 -3 -5 -4 -6 -4 -3	-2 -2 -2 -1 -2 -2 -4 -2	-4 -3 -5 -2 -1 -2 -1 -3 -7 -1 -2 -6	0.25     0.33     0.45     0.35     0.3     0.35     0.15     0.4     0.125	0.125     0.215     0.155     0.125     0.135     0.125     0.155     0.135	0.215     0.225     0.325     0.145     0.135     0.215     0.125     0.245

Данные для задачи 7:

№ вар.				α ; β
	2; 0.3 1; 0.5 3; 0.2 0; 1.2 0.5; 0.03 4; 1.2 3.5; 2.3 2.3; 1.1 1.4; 0.4 6; 2.4 3.6; 1.2 8; 4.2 1.3; 0.3 2.5; 1.2 3.1; 2.3 5; 1.6 4.2; 3.2 7; 1.5 2.4; 0.4 5.1; 3.1 3; 2.1 6.2; 3.5 4.8; 0.8 5.6; 0.9 1.7; 0,1	0.7 1.3 1.6 0.3 0.1 2.3 2.5 1.7 0.6 6.8 4.2 5.7 0.6 3.1 2.4 5.8 4.5 3.6 2.1 4.6 2.5 5.1 5.6 3.8 1.2	0.75 0.48 0.54 0.67 0.78 0.66 0.59 0.65 0.58 0.49 0.87 0.94 0.87 0.73 0.27 0.57 0.55 0.64 0.48 0.58 0.55 0.69 0.48 0.77 0.86	1.1; 2.1 0.3; 0.7 1; 1.5 -0.2; 0.3 0; 1.3 4.1; 4.9 2.3; 3.6 3.2; 3.5 0.2; 0.9 4.5; 6.1 2.6; 3.1 5.7; 7.8 2; 3.4 1.4; 2.6 2.5; 3.5 3.2; 5.1 3.7; 6 5.6; 7.6 1.3; 4.3 4.2; 6.1 1.2; 3.4 5.7; 7.1 3.4; 6.1 4.5; 6.3 0.2; 0.8

Указания к выполнению домашнего задания 2

Задача 5. Определение числовых характеристик дискретной случайной величины.

Закон распределения случайной величины Х задан таблицей:

 

xi	-1
pi	P1	P2	?	P4	P5

 

Найти недостающее значение вероятности, , моду и медиану случайной величины Х. Чему равна вероятность , ? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Из условия нормировки найдём недостающее значение вероятности .

Математическое ожидание, дисперсию и СКО вычислим по формулам , , .

Мода Мо – это значение x_i с наибольшей вероятностью.

Пусть , тогда Мо=4.

Cередина вариационного ряда с нечётным числом членов N, определяется по формуле Ме = = =1.

Для случайной величины найдём , пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии:

M(C)=C, M(X₁ ± X₂) = M(X₁) ± M(X₂), M(CX)=CM(X),

D(С) = 0, D(X₁+X₂) = D(X₁)+D(X₂),D(CX) = C²D(X).

,

.

 

Задача 6. Определение числовых характеристик непрерывной случайной величины.

Случайная величина Х распределена с постоянной плотностью С в промежутке [Q₁,Q₂]; попадает с вероятностью Rв промежуток [Z₁, Z₂] и имеет там плотность распределения вида . Для остальных значений Х . Требуется:

1. Найти недостающие значения параметров.

Недостающие значения параметров найдём из условия нормировки: .

2.Указать плотность распределения, функцию распределения и построить их графики.

Найдём функцию распределения, используя её свойство .

3. Вычислить математическое ожидание , дисперсию D_x, среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Найти вероятность .

- математическое ожидание,

- дисперсия,

- среднеквадратичное отклонение.

Вероятность можно найти по формуле , положив и .

Задача 7. Решить, используя нормальное распределение:

Измеряемая случайная величина Х подчиняется закону распределения . Определить:

1. Вероятность того, что случайная величина не превосходит значение .

,

здесь - функция Лапласа, значения которой для неотрицательного аргумента табулированы. Для отрицательного аргумента их можно найти из соотношения и , .

2. Вероятность того, что случайная величина изменяется от αдо β.

.

3. Вероятность того, что случайная величина отличается от среднего не более чем на значение в ту или другую сторону.

Используя формулу из пункта 7, имеем:

,

где - табличное значение функции Лапласа.

4. Симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью попадает измеряемое значение.

Пусть - величина, на которую нужно отступить вправо и влево от математического ожидания , тогда условие задачи можно представить в виде . Следовательно, можно найти из условия: (зная вероятность , находим по таблице значения аргумента функции Лапласа.

А интервал будет иметь вид .