Производные обратных тригонометрических функций

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Введение

Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в ХVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Производная функции – одно из основных математических понятий дифференциального исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков (в первую очередь И. Ньютона и Г. Лейбница) и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач.

2. Числовая функция. Схема исследования функции.

(Смотри конспекты по теме «Степенная функция»)

 

1) Область определения функции.

2) Множество значений функции.

3) Четность, нечетность функции.

4) Монотонность функции.

5) Обратимость функции.

6) Нули функции.

7) Промежутки знакопостоянства функции.

8) Ограниченность функции.

 

Упражнения:

1. Найти область определения функции:

а) ; б) ; в) .

1. Найти область определения функции: а) ; б) .
2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной:

а) ; б) ; г) .

 

3. Понятие предела функции в точке.

 

Рассмотрим графики некоторых функций. Изучим поведение функций вблизи точки х₀ , то есть в некоторой окрестности точки х₀.

 

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Функция обладает свойством, отличающим ее от двух других функций.

 

1. При приближении аргумента х к х₀ слева и справа соответствующие значения функции сколь угодно близки к одному и тому же числу А.

Этим свойством не обладают две другие функции.

 

2. При приближении аргумента х к х₀ слева соответствующие значения функции сколь угодно близки к числу А, а при приближении аргумента х к х₀ справа соответствующие значения функции сколь угодно близки к числу В.

3. Функция при приближении аргумента х к х₀ слева и справа принимает различные значения.

 

Вывод:Еслипри приближении аргумента х к х₀ слева и справа точки с координатами сколь угодно близки к точке с координатами , то .

Пример: Имеет ли функция предел в точках х₁, х₂, х₃, х₄, х₅?

Ответ: Функция имеет предел в точках х₁, х₃ ;

функция не имеет предела в точках х₂, х₄, х₅.

Замечание:

 

4. Определение функции непрерывной в точке и на промежутке

 

Понятие непрерывности функции удобно связать с представлением о графике этой функции как о «неразрывной» (сплошной) линии. Сплошной линией будем считать линию, начерченную без отрыва карандаша от бумаги.

 

Вопрос: Какие из данных функций являются непрерывными?

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Рис. 4. Рис. 5.

Ответ: Из данных функций непрерывной является функция, изображенная на рис. №3, так как ее график - «неразрывная» (сплошная) линия.

Вопрос: Какими свойствами обладает функция, изображенная на рис. №3, и не обладают другие функции?

Ответ:

1. Функция определена в точке х₀. Это свойство не выполняется для функции, изображенной на рис. №1.

2. Существует конечный предел функции в точке х₀. Это свойство не выполняется для функций, изображенных на рис. №2, 5.

3. Предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, то есть . Это свойство не выполняется для функции, изображенной на рис. №4.

Свойства, которые выполняются для функции, изображенной на рис. №3, и дают возможность дать определение функции непрерывной в точке х₀.

 

Определение: Функция называется непрерывной в точке х₀, если .

Замечание: Если функция является непрерывной в точкех₀,то точка х₀ называется точкой непрерывности функции, если функция не является непрерывной в точкех₀,то точка х₀ называется точкой разрыва функции.

Определение: Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

 

5. Приращение аргумента, приращение функции

 

Пусть задана функция , .

х₀ – начальное значение аргумента, ;

х– конечное значение аргумента, ;

f (х₀) – начальное значение функции;

f(х₀ +D х) – конечное значение функции.

Определение: Разность конечного и начального значений аргумента называется приращением аргумента. D х = х – х₀

Определение: Разность конечного и начального значений функции называется приращением функции. D у = f(х₀ +D х) – f (х₀)

 

Замечание:

1. Геометрически приращение аргумента D х– есть разность абсцисс точек графика функции, соответствующих конечному и начальному значениям аргумента.
2. Геометрически приращение функции D у– есть разность ординат точек графика функции, соответствующих конечному и начальному значениям аргумента.
3. Приращение аргумента и приращение функции могут быть как положительными, так и отрицательными.

 

6. Понятие производной функции. Физический смысл производной функции

 

Рассмотрим задачу о скорости изменения функции , где х и у могут быть любыми физическими величинами.

х₀ – начальное значение аргумента; f (х₀) – начальное значение функции;

х₀ +D х – конечное значение аргумента; f(х₀ +D х) – конечное значение функции;

D у = f(х₀ +D х) – f (х₀) – приращение функции;

– средняя скорость изменения функции на интервале D х.

– мгновенная скорость изменения функции, скорость изменения функции в точке х₀.

Определение: Производной функции в точке х₀ называется предел отношения приращения D у функции в точке х₀ к приращению D х аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Вывод: Производная функции в точке х₀ есть скорость изменения функции в точке х₀.

 

Теорема: Производная постоянной функции у = с в любой точке равна нулю.

Теорема: Производная функции у = х в любой точке равна единице.

.

 

Замечание: Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием.

7. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций

 

Рассмотрим функцию ,состоящую из двух других функций и , имеющих производные на отрезке :

1) ;

2) ;

3) .

 

Теорема №1: Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций.

 

Пример: Вычислить производную функции

; .

Теорема №2: Производная произведения двух функций определяется по формуле:

Следствие: Постоянный множитель можно вынести за знак производной: .

Доказательство: .

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .
2. . .
3. .

1. . ; .

Упражнения:

1) ;

2) ;

3) .

 

Производная степенной функции при вычисляется по формуле:

Замечание: Формула справедлива для степенной функции с любым показателем степени . ,

Пример: Вычислить производные функций:

1. . Решение: .
2. . Решение: .
3. . Решение: .
4. . Решение: .

Вывод: .

Упражнения: Вычислить производные функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) .

Теорема №3: Производная частного двух функций определяется по формуле:

Следствия: ;

Пример: Вычислить производные функций:

1) .

2) . .

3) . .

Упражнения: Вычислить производные функций:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. .

 

 

8. Понятие сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции

 

Пусть функция определена на множестве , а функция на множестве , причем для , соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от х(функцией от функции).

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

 

Пример:

1. - тригонометрическая, линейная функция; , ;
2. - степенная, тригонометрическая функция; , ;
3. - степенная, линейная функция; , ;
4. - показательная, степенная функция; , ;

Упражнения:

1. Из каких элементарных функций состоят данные сложные функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1. Из данных элементарных функций составить сложные функции:

1) , ; 2) , ;

3) , . 4) , , .

Вывод: Производная сложной функции равна произведению производных элементарных функций, ее составляющих.

Пример: Вычислить производные функций:

1. .

- степенная, линейная; , .

.

2. .

- степенная, квадратичная; , .

.

Упражнения: Вычислить производные функций:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

 

 

9. Производная показательной, логарифмической функций

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .

2. . .

3. . .

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .

2. . .

Упражнения: Вычислить производную функции:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. .

 

 

10. Производные тригонометрических функций

Производные обратных тригонометрических функций

.

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .

2. . .

Задача: Вычислить производную функции .

. .

Задача: Вычислить производную функции .

.

Упражнение: Вычислить производную функции .

.

Производные обратных тригонометрических функций

; ;

; .

Упражнения: Вычислить производные функций:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13.

 

11. Геометрический смысл производной функции

 

Рассмотрим функцию .

На графике функции возьмем фиксированную точку и произвольную точку . Проведем секущую . Если точку М неограниченно приближать к точке М₀ по графику функции , то секущая М₀М будет занимать различные положения и при совпадении точки М с точкой М₀ секущая займет предельное положение М₀Т, тогда прямая М₀Т будет касательной к графику функции в точке М₀.

Определение: Касательной к графику функции в точке М₀ называется предельное положение М₀Т секущей при стремлении точки М по графику к точке М₀ .

b - угол наклона секущей М₀М к положительному направлению оси абсцисс.

a -угол наклона касательной М₀Т к положительному направлению оси абсцисс.

- угловой коэффициент секущей М₀М.

- угловой коэффициент касательной М₀Т.

Рассмотрим прямоугольный треугольник М₀МА ( ). Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

, то есть . А, значит, .

Определим производную функции в точке х₀: .

, , следовательно, .

 

Вывод: Геометрический смысл производной функциисостоит в том, чтопроизводная функции при равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

Пример:

1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точках .

; ; ; ; ; .

Ответ: ; ; .

2. Найти угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

; ; ; ; .

Ответ: .

 

Упражнения:

1. Какой угол образует с осью Ох касательная к кривой в точке ?

2. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 135º с осью Ох.

3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох под углом ?

4. В какой точке касательная к параболе параллельна прямой ; перпендикулярна прямой ?

5. Определить, в какой точке касательная к параболе параллельна прямой .

6. Определить, в какой точке касательная к параболе перпендикулярна прямой .

 

12. Признаки постоянства, возрастания, убывания функции

Теорема:

1. Если функция на имеет положительную производную, то функция на этом отрезке возрастает.

2. Если функция на имеет отрицательную производную, то функция на этом отрезке убывает.

3. Если функция на имеет равную нулю производную, то функция на этом отрезке постоянна.

Пример: Определить интервалы возрастания и убывания функции .

1. Найдем область определения функции : .

2. Вычислим производную функции: .

3. Определим значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю: ; ; .

4. Определим знак производной в интервалах, на которые область определения разбивается значением аргумента , и характер монотонности функции в этих интервалах:

х
	-		+
у	↓		↑

Ответ: у - убывает; у - возрастает.

Пример: Исследовать на монотонность функцию .

1. Найдем область определения функции : .

2. Вычислим производную функции: .

3. Определим значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю: ; ; ; .

4. Определим знак производной в интервалах, на которые область определения разбивается значениями аргумента ; , и характер монотонности функции в этих интервалах:

х		- 2
	+		-		+
у	↑		↓		↑

Ответ: у - возрастает; у - убывает.

Упражнения: Исследовать на монотонность функции:

1. ; 2. ; 3.

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. .

 

13. Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум

 

Рассматривая поведение функции на интервале , обратим внимание на то, что при некоторых значениях аргумента х₁, х₂, х₃ функция принимает либо наибольшее, либо наименьшее значения по сравнению с ее значениями слева и справа от этих значений аргумента. Для пояснения этой особенности функции введем понятия максимума и минимума функции.

 

Определение: Значение аргумента х₀ называется точкой максимума функции , если для всех значений аргумента х в окрестности х₀ выполняется неравенство . Рис. 1.

Определение: Значение аргумента х₀ называется точкой минимума функции , если для всех значений аргумента х в окрестности х₀ выполняется неравенство . Рис. 2.

Рис. 1. Рис. 2.

Замечание: Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (extremum – крайний), а значения функции в этих точках – экстремальными (максимальными и минимальными).

 

Установим необходимое условие существования экстремума.

 

Теорема Ферма: Если внутренняя точка х₀ из области определения непрерывной функции является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю.

Замечание: Однако равенство нулю производной функции в точке х₀ еще не дает права утверждать, что х₀ –точка экстремума