Алгоритм №2 вычисления ранга матрицы

(метод элементарных преобразований).

1. С помощью элементарных преобразований получить а₁₁=1.

2. С помощью элементарных преобразований получить а_i1=0, i¹1 ( все элементы первого столбца, кроме первого, равны 0).

3. Выполнить пункты 1 и 2 алгоритма для элементов второго столбца.

4. продолжать алгоритм до тех пор, пока матрица не будет приведена к ступенчатому виду:

.

5. Ранг полученной ступенчатой матрицы А¢ будет равен рангу исходной матрицы. rangA = rangA¢ = .

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: , где . В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми.

Пример выполнения заданий практической части

Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

.

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М₁ = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор

.

Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М₂. Их всего два (можно
добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум: .

Пример 2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований:

_.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки

.

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

;

из третьей строки вычтем первую, получим матрицу

,

которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2.

Пример 3.Выяснить, при каком значении параметра матрица имеет 3 линейно независимые строки: .

Решение. Матрица имеет три линейно независимые строки, если ее ранг равен 3, т.е. . Вычислим определитель матрицы:

,

, т.е. ; .

Следовательно, при всех значениях , кроме , все строки линейно независимы.

Пример 4. Определить максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы: .

Решение. С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранга матрицы, приведем ее к ступенчатому виду:

~

Значит, ранг матрицы и исходная матрица имеет 3 линейно независимые строки (или столбца).

Задания для аудиторного занятия

1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы:

1.1. ; 1.2. ;

1.3. ; 1.4. .

2.Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований:

2.1. ; 2.2. ;

2.3. ; 2.4. ;

2.5. ; 2.6. .

3.Найти максимальное число линейно независимых строк матриц:

3.1. ; 3.2. ;

3.3. ; 3.4. .

Домашнее задание

1.Найти методом окаймления миноров ранг матрицы:

1.1. ; 1.2. ;

1.3. .

2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований:

2.1. ; 2.2. ;

2.3. .

3.Найти максимальное число линейно независимых столбцов матриц:

3.1. ; 3.2. .