Предел и непрерывность

I семестр

Множества и функции

Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение). Множества натуральных, целых, рациональных чисел, их изображение на числовой прямой. Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли, формула бинома Ньютона.

Действительное число как бесконечная десятичная дробь. Взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами. Порядок на множестве R действительных чисел. Ограниченные числовые множества, определения верхней и нижней грани. Теорема о существовании верхней грани ограниченного сверху числового множества, нижней грани ограниченного снизу числового множества. Определение операций на множестве R. Свойства операций (без доказательств).

Функции. Способы их задания. График функции. Композиция функций. Обратимые функции, график обратной функции. Простейшие преобразования графиков функций.

Высказывания, операции над высказываниями. Таблицы истинности логических связок. Тавтологии, правила логического вывода. Предикаты; кванторы.

Предел и непрерывность

Определение последовательности. Предел последовательности. Примеры сходящихся последовательностей, примеры расходящихся последовательностей. Основные теоремы о пределах последовательностей (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, переход к пределу в неравенстве, теорема о зажимающих последовательностях).

Леммы о бесконечно малых последовательностях. Теоремы об арифметике пределов. Ограниченные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Теорема о выборе сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности.

Критерий Коши сходимости последовательности.

Вычисление пределов последовательностей ( ), , ( ), ( ).

Число e. Предел последовательности при , где Q. Определение степени с действительным показателем. Показательная (экспоненциальная) функция, ее основные свойства.

Два определения предела функции в точке и их эквивалентность. Теорема о единственности предела функции в точке, знакопостоянство функции, имеющей ненулевой предел. Предел слева, предел справа и их равенство. Бесконечно большие функции. Пределы функций при , + , - .

Теоремы о переходе к пределу в неравенстве. Арифметика пределов функций. Замечательный тригонометрический предел при .

Непрерывные функции. Простейшие свойства непрерывных функций. Непрерывность многочленов, дробно-рациональных функций, тригонометрических функций. Непрерывность функции, обратной к непрерывной.

Теорема о существовании и единственности логарифма. Логарифмическая функция, ее основные свойства. Непрерывность показательной и логарифмической функций. Нахождение пределов , , , при , , при . Теоремы о промежуточном значении непрерывной функции. Теоремы об ограниченности непрерывной на отрезке функции, о достижении непрерывной на отрезке функцией наименьшего и наибольшего значений.

Дифференцируемость

Касательная к кривой как наиболее тесно прилегающая к ней прямая. Производное число функции в точке. Уравнение касательной к графику функции.

Теорема о линейном приближении. Непрерывность дифференцируемой функции. Пример функции, непрерывной в точке, но не дифференцируемой в ней.

Примеры вычисления производных: линейная функция, квадратичная функция, степенная функция , N, синус и косинус, логарифмическая функция , показательная функция , арктангенс.

Арифметика производных: производные суммы, произведения, частного. Производная композиции функций (цепное правило). Примеры вычисления производных, использующие цепное правило: производные функций , , , , . Теорема о производной обратной функции. Вычисление производных обратных тригонометрических функций.

Определение дифференциала, его свойства. Производные и дифференциалы высших порядков.