Вывод закона Ома на основе КЭТ

Исследование температурной зависимости электрического сопротивления металлов и полупроводников

Цель работы: ознакомление с классическим методом измерения сопротивления при помощи резистивного моста; вычисление удельного сопротивления, температурного коэффициента сопротивления металла; определение энергии активации примесей в полупроводнике.

Оборудование: мост постоянного тока, нагреватель, измеритель температуры, медный провод, полупроводник.

Краткие теоретические сведения

Закон Ома

В 1826 г. немецкий физик Георг Симон Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока I, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна напряжению U на его концах:

, (5.1)

где R - электрическое сопротивление проводника.

Это соотношение не является универсальным законом, так как электрическое сопротивление R не является константой материала. Оно зависит от формы и размеров электрического проводника. Однако можно выделить в сопротивлении R константу материала - удельное сопротивление r.

Наиболее просто это сделать для проводников правильной формы. Так, для однородного проводника цилиндрической формы сопротивление R выражается через удельное сопротивление ρ следующим образом:

(5.2)

где - длина проводника; S - площадь его поперечного сечения.

Чтобы понять, какие физические величины определяют удельное сопротивление, его необходимо выразить через другие константы материала, как это делается в классической электронной теории (КЭТ).

Вывод закона Ома на основе КЭТ

КЭТ металлов основана на следующих представлениях. Атом можно представлять как совокупность двух систем электронов. Одна из систем сильно связана с ядром и образует так называемый остов. Другая система, система валентных электронов, у некоторых атомов, например, у атомов щелочных элементов, слабо связана с ядром. При объединении таких атомов в твердое тело, каждый остов занимает вполне определенное место - узел, а совокупность узлов образует кристаллическую решетку. Валентные электроны уже не принадлежат тому или иному остову, а образуют "электронный газ", газ свободных электронов, принадлежащий всему твердому телу в целом. Электронному газу приписываются свойства идеального одноатомного газа. Свободные электроны непрерывно хаотически движутся, причем средняя кинетическая энергия их движения

, (5.3)

где m - масса электрона; - средняя скорость теплового движения; k- постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура.

Под действием внешнего электрического поля свободные электроны приобретают дополнительную скорость, направленную противоположно направлению поля. Это медленное (по сравнению с тепловым движением) направленное движение электронов называется дрейфом, а дополнительная скорость – скоростью дрейфа , или дрейфовой скоростью. Максимальная величина дрейфовой скорости определяется частотой соударений электронов с тем или иным остовом. Каждый остов совершает колебательные движения, амплитуда колебаний определяется температурой твердого тела. При повышении температуры возрастает амплитуда колебаний ионов и, следовательно, увеличивается вероятность столкновения электронов с ионами. В результате скорость дрейфа электронов уменьшается, соответственно уменьшается и ток I. При неизменной разности потенциалов на концах проводника уменьшение тока означает по закону Ома (5.1) рост сопротивления проводника R. С уменьшением же температуры остовы колеблются все менее интенсивно, все реже соударения электронов с ионами. Поэтому сопротивление проводника убывает с уменьшением температуры.

На основе этих представлений КЭТ найдем связь удельного сопротивления с другими константами материала.

В промежутке между двумя следующими друг за другом соударениями электроны под действием кулоновской силы F = eE двигаются с ускорением

, (5.4)

где e - заряд; m -масса электрона; E - напряженность электрического поля.

Скорость дрейфа и время между двумя последующими соударениями являются случайными величинами. Можно предполагать, что эти величины распределены в интервале от нуля до некоторых максимальных значений. Если - среднее время между двумя последующими соударениями, или среднее время свободного пробега электронов, то максимальная дрейфовая скорость, которую электрон приобретает перед соударением, равна

(5.5)

Средняя скорость дрейфа электронов равна, очевидно, половине максимальной, так как сразу же после соударения скорость дрейфа равна нулю, а затем растет со временем линейно. Используя это соображение и заменяя в (5.5) ускорение его значением из (5.4), получим:

(5.6)

Здесь величина

(5.7)

называется подвижностью электронов, имеет размерность м²/В с и численно равна средней дрейфовой скорости в единичном поле.

Для однородного проводника цилиндрической формы с площадью поперечного сечения S силу тока I можно выразить через скорость дрейфа . За время t электроны проходят вдоль проводника расстояние . Пусть в единице объема имеется n электронов проводимости. Число электронов, пересекающих сечение S проводника за время t, составляет nSL. Заряд Q, проходящий через это сечение, равен . Так как сила тока I равна Q/t, тогда

, (5.8)

где n - концентрация электронов.

Подставляя в (5.8) значение дрейфовой скорости из (5.6) и учитывая, что , где - длина проводника, получим

(5.9)

Из сравнения полученного выражения с законом Ома (5.1) получим, что

(5.10)

Сопоставляя выражения (5.10) и (5.2), можно легко получить искомую связь материальной константы r с фундаментальными константами (заряд и масса электрона) и другими материальными константами (концентрация и среднее время свободного пробега электронов):

(5.11)

2. Формула Друде – Лоренца

Преобразуя (5.11) с учетом (5.7), удельное сопротивление можно выразить через подвижность электронов:

(5.12)

Величина, обратная удельному сопротивлению (, называется удельной проводимостью (. Используя понятие удельной проводимости, выражение (5.12) можно записать в виде

 EMBED Equation.DSMT4  (5.13)

Как видно из (5.13), удельная проводимость пропорциональна концентрации электронов проводимости n и их подвижности (.

Соотношение (5.13) носит универсальный характер, является справедливым как для твердых тел (металлов, полупроводников, диэлектриков), так и для жидкостей и газов и известно под названием формула Друде-Лоренца.