Комплексные числа, действия над ними

Алгебраическое уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел. Этот факт подводит нас к необходимости расширения понятия числа.

Определение 1. Комплексными числами называются числа вида , где , являются действительными числами, а - условный символ. При этом введены операции сложения и умножения по следующим правилам.

Пусть заданы 2 комплексных числа и , тогда их сумма и произведения определяются формулами:

, . (1)

Обратите внимание, что определение не только вводит новый объект – множество комплексных чисел вида . Также введены операции над этими числами – сложение и умножение. По определению, они выполняются по формулам (1). Как запомнить формулы (1) и в чем смыл символа « »? По сути, мы обычным образом раскрываем скобки при проведении арифметических операций и при этом квадрат условного символа заменяем числом .

Для числа число называется действительной частью, а число - мнимой частью этого комплексного числа. При этом используются обозначения , . Два комплексных числа называются сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаком. В общем виде парой сопряженных комплексных чисел являются числа и .

Числа и равны тогда о только тогда, когда совпадают их действительные и мнимые части, т.е. выполнены равенства: . Если мнимая часть комплексного числа равна 0, то это число принадлежит множеств действительных чисел Иными словами, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел, что можно записать в виде .

Про комплексные числа нельзя сказать, что одно из них больше или меньше другого. В этом смысле их нельзя сравнивать. Можно лишь ответить на вопрос, равны или не равны два таких числа.

Комплексное число равно 0 тогда и только тогда, когда равны 0 его действительная и мнимая части. Справедливо равенство и таким свойством обладает лишь число 0.

Комплексное число равно 1 тогда и только тогда, когда его действительная часть равна 1, а мнимая часть равна 0. Справедливо равенство и таким свойством обладает лишь число 1.

В определении даются формулы для сложения и умножения комплексных чисел. Это автоматически порождает ряд дополнительных операций над комплексными числами. Под вычитанием понимается действие, обратное сложению. Поэтому для чисел и справедлива формула . Умножение комплексного числа на действительное число является частным случаем перемножения комплексных чисел, поэтому справедлива формула . Под делением понимается действие, обратное умножению. Заметим, что для чисел и справедливо соотношение . После раскрытия скобок получим формулу .

Пример 1. Даны комплексные числа , . Вычислите:
а) , б) , в) , г) , д) , е) ж) .

Решение. В первых 5 пунктах действуем по определению:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) .

Переходим к последним двум пунктам. Еще раз ответим на вопрос, как поделить 2 комплексных числа? При вычислении в п.. е) можно рассмотреть уравнение или . Раскрывая скобки, приравнивая действительные и мнимые части, мы получим однозначно разрешимую систему для определения неизвестных и . Тем самым частное будет найдено.

На самом деле, есть более простой способ деления комплексных чисел. Заметим, что если комплексное число умножить на сопряженное, то получится действительное число, т.е. . Отсюда . Также .