Управляемость систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему, описываемую векторным дифференциальным уравнением

(6.1)

Где

(6.2)

Через ( k=1,...,n) здесь обозначены переменные, определяющие состояние системы: ( l=1,...,r)- приложенные к системе управляющие силы, называемые также «управлениями». Элементы матриц А и G предполагаются здесь постоянными.

Векторное дифференциальное уравнение (1) эквивалентно системе скалярных дифференциальных уравнений

(6.3)

Уравнения (3) являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, и их можно интерпретировать, например, как уравнения в вариациях относительно установившегося движения (или относительно состояния равновесия) некоторой системы материальных точек. Пусть s- число степеней свободы этой системы, а ,…, — ее обобщенные координаты. Ранг системы уравнений (3) при этом будет

Переменные ( i=1,…,n) в уравнениях (3) могут быть фазовыми координатами или каноническими переменными (обобщёнными координатами и обобщёнными импульсами) рассматриваемой системы материальных точек или быть связанными с ними при помощи некоторого линейного преобразования.

Так как у системы материальных точек число приложенных обобщённых сил не может превышать числа степеней свободы, то число г управляющих сил :

( l=1,...,r) в дифференциальных уравнениях (3) должно удовлетворять условию

Заметим еще, что те из уравнений системы (3), которые выражают лишь зависимость между переменными например уравнения вида

(6.4)

в случае, когда — фазовые координаты системы, требуют выполнения тождеств

(6.5)

для чего необходимо, чтобы соответствующие строки матрицы G состояли из нулевых элементов

(6.6)

Обычно управляемая система имеет, однако, более сложную структуру. В ее состав входят еще устройства для формирования управляющих сигналов и др. При этом в число уравнений (3) могут входить также дифференциальные уравнения, описывающие программы включенных в состав системы вычислительных управляющих устройств и т. п. Эти уравнения могут содержать и свои управляющие воздействия. В этом случае будет иметь место соотношение n>2s, где под s здесь подразумевается число степеней свободы лишь совокупности механических звеньев, входящих в систему (3), а также может оказаться, что r > s.

Рассмотрим сейчас вопрос о том, можно ли систему, описываемую уравнением (1), перевести из любого заданного начального состояния в любое желаемое состояние за конечный промежуток времени, выбирая надлежащим образом закон изменения управляющих сил .

Сформулированное здесь свойство получило название управляемости. Системы, обладающие этим свойством, называются вполне управляемыми.

Так как управляемость системы определяется строением матриц А и G, то понятие управляемости относят также к этим матрицам, говоря, что пара ( A, G) вполне управляема, или соответственно неуправляема.

Перейдем к решению поставленной задачи. Закон движения системы, описываемой уравнением (1), будет следующим:

(6.7)

Предположим, что существует такой закон изменения управляющих сил который обеспечивает приведение системы к моменту времени в начало координат, то есть обеспечивает выполнение условия

(6.8)

Так как согласно (7)

(6.9)

то в соответствии с (8) будем иметь следующее соотношение:

(6.10)

Условие управляемости системы (1) состоит в том, что ранг матрицы

должен быть равен n.

Одним из возможных управлений является, например, управление

где

а символом * обозначена транспонированная матрица.