Математические модели непрерывных, дискретных и непрерывно - дискретных каналов

Непрерывные каналы.Идеальный канал без помех вносит искажения, связанные с изменением амплитуды и временного положения сигнала и представляет собой линейную цепь с постоянной передаточной функцией, обычно сосредоточенной в ограниченной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы, спектр которых лежит в определенной полосе частот , имеющие ограниченную среднюю мощность . Эта модель используется для описания каналов малой протяженности с закрытым распространением сигналов (кабель, провод, волновод, световод и т. д.).

Канал с гауссовским белым шумом представляет собой идеальный канал, в котором на сигнал накладывается помеха:

.

Коэффициент передачи и запаздывание считаются постоянными и известными в точке приема; – аддитивная помеха. Такая модель, например, соответствует радиоканалам, с приемо-передающими антеннами работающими и находящимися в пределах прямой видимости.

Дискретно-непрерывные каналы. Дискретно-непрерывный канал имеет дискретный вход и непрерывный выход. Примером такого канала является канал, образованный совокупностью технических средств между выходом кодера канала и входом демодулятора (см. рис. 1.3). Для его описания необходимо знать алфавит входных символов , , вероятности появления символов алфавита , полосу пропускания непрерывного канала , входящего в рассматриваемый канал и плотности распределения вероятностей (ПРВ) появления сигнала на выходе канала при условии, что передавался символ .

Зная вероятности и ПРВ по формуле Байеса можно найти апостериорные вероятности передачи символа :

,

Решение о переданном символе обычно принимается из условия максимума .

Дискретные каналы. Примером дискретного канала без памяти может служить m-ичный канал. Канал передачи полностью описывается если заданы [20, 21] алфавит источника , , вероятности появления символов алфавита , скорость передачи символов , алфавит получателя , и значения переходных вероятностей появления символа при условии передачи символа .

Первые две характеристики определяются свойствами источника сообщений, скорость – полосой пропускания непрерывного канала, входящего в состав дискретного. Объем алфавита выходных символов зависит от алгоритма работы решающей схемы; переходные вероятности находятся на основе анализа характеристик непрерывного канала.

Стационарным называется дискретный канал, в котором переходные вероятности не зависят от времени.

Дискретный канал называется каналом без памяти, если переходные вероятности не зависят от того, какие символы передавались и принимались ранее.

Наиболее простой моделью двоичного канала с памятью является марковская модель, которая задается матрицей переходных вероятностей:

,

где – условная вероятность принять ( )-й символ ошибочно, если -й принят правильно; – условная вероятность принять ( )-й символ правильно, если -й принят правильно; – условная вероятность принять ( )-й символ ошибочно, если -й принят ошибочно; – условная вероятность принять ( )-й символ правильно, если -й принят ошибочно.

Безусловная (средняя) вероятность ошибки в рассматриваемом канале должна удовлетворять уравнению:

или

.

Данная модель имеет достоинство – простоту использования, не всегда адекватно воспроизводит свойства реальных каналов. Большую точность позволяет получить модель Гильберта для дискретного канала с памятью. В такой модели канал может находиться в двух состояниях и . В состоянии ошибок не происходит; в состоянии ошибки возникают независимо с вероятностью . Также считаются известными вероятности перехода из состояния в и вероятности перехода из состояния в состояние . В этом случае простую марковскую цепь образует не последовательность ошибок, а последовательность переходов:

.

При этом достаточно легко выразить безусловные вероятности нахождения канала в состояниях и :

, .

Безусловная вероятность ошибки в этом случае может быть определена по формуле:

.

Наиболее часто при использовании модели Гильберта для двоичного канала полагают , т.е. состояние рассматривается как полный обрыв связи. Это согласуется с представлением о канале, в котором действуют коммутационные помехи.