Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси и метод начальных параметров

Рассмотрим плоский поперечный изгиб стержня с прямой осью и постоянными поперечными размерами. В случае малых прогибов перемещения сечений такого стержня определяются из приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси

или , (5.1)

где - кривизна изогнутой оси;

- радиус кривизны;

- прогиб (перемещение в направлении оси ) сечения с координатой );

- уравнение изгибающего момента;

- жесткость при изгибе.

Выбор знака в выражении (5.1) зависит от выбора направления оси и правила знаков для изгибающего момента. Так, например, для случая, когда ось направлена вверх (рис. 5.1), положительному изгибающему моменту соответствует положительная кривизна и наоборот, отрицательному изгибающему моменту - отрицательная кривизна. Тогда в уравнении (5.1) следует принять знак плюс.

Если ось направлять вниз, то у кривизны и изгибающего момента будут различные знаки (рис. 5.1), и в выражении (5.1) следует принимать знак минус.

Рис. 5.1. Схема зависимости знаков и от направления оси

Последовательно интегрируя выражение (5.1), на каждом из участков нагружения балки, получим уравнения углов поворота и прогибов для каждого участка

, (5.2)

. (5.3)

Здесь, и в дальнейшем, принято направление осей по рисунку 5.1б (ось - на нас).

Постоянные интегрирования и определяются из условий неразрывности перемещений на границах участков.

В инженерных расчетах пользоваться методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения при большом количестве участков интегрирования сложно. В этом случае необходимо составлять и решать систему уравнений с постоянными интегрирования и , количество которых вдвое превышает количество участков нагружения.

При выполнении определенных правил удается количество постоянных интегрирования свести к двум начальным параметрам: , . Такой метод получил название метода начальных параметров.

В случае действия на балку сосредоточенных моментов и сил, а также равномерно распределенной нагрузки (рис. 5.2), уравнения метода начальных параметров имеют вид:

, (5.4)

. (5.5)

Здесь и - прогиб и угол поворота сечения в начале координат, совмещенном с крайним левым сечением балки; - расстояния от начала координат до сечений, в которых приложены нагрузки.

Рис. 5.2. Часть балки слева от рассматриваемого сечения с нагрузками

Начальные параметры определяются из условий закрепления балки.

Уравнения (5.4) и (5.5) записывают, обычно, для крайнего правого участка балки. При вычислении перемещений конкретных сечений в эти уравнения включают только те нагрузки, которые располагаются слева от сечения.

Нагрузки, направления которых совпадают с показанными на рисунке 5.2, подставляют в уравнения (5.4) и (5.5) со знаком плюс; противоположные - со знаком минус. Если распределенная нагрузка обрывается слева от сечения, то ее дополняют до сечения, одновременно прикладывая компенсирующую, противоположного направления и той же интенсивности.

Положительному прогибу соответствует перемещение в направлении оси , положительному углу поворота - поворот сечения по часовой стрелке.