Лабораторная работа №10

Цель:применениеметодов математической физики (уравнение колебания струны, уравнение теплопроводности).

Задача 1. Исследовать процесс колебания жестко закрепленной струны. Выделить мажоранту и миноранту полученного ряда.

Решение. Уравнение колебания струны.

Рассматривается уравнение колебания жестко закреплённой струны в области , , (1.1)

при граничных условиях , (1.2)

и начальных условиях , . (1.3)

Здесь – постоянная скорость распространения звука в среде, – отклонение струны от положения равновесия в точке в момент времени , и – заданные начальное отклонение и начальная скорость отклонения струны. Для решения рекомендуется применять метод разделения переменных

Метод разделения переменных. Точное решение исходной задачи.

Для получения точного решения исходной задачи (1.1)-(1.3) применим метод разделения переменных Фурье. Будем искать решение в виде:

.

Подставляя в уравнение (1.1), получим

.

Разделим это равенство на .

Тогда . (1.4)

Следует отметить, что функция, стоящая в левой части равенства зависит от , а в правой – от . Следовательно, эти величины есть константа. Обозначим эту константу .

Рассмотрим правую часть равенства (1.4).

Уравнение при условиях , имеет решение , , .

Тогда из левой части (1.4) следует, что и

.

Используя линейность исходной задачи (линейная комбинация решений есть решение) отсюда получаем:

. (1.5)

Подставляя начальные условия (1.3), находим уравнения для определения и :

,

Тем самым показано, что искомые и выражаются через коэффициенты Фурье разложений функций и по синусам (т.е. функции ) и продолжаются нечетным образом на отрезок и получающиеся функции продолжаются периодическим образом с периодом 2).

Искомые и определяются по следующим формулам:

,

. (1.6)

Итак, ряд (1.5), где и определены (1.6), представляет точное решение задачи (1.1)-(1.3). Скорость сходимости этого ряда, а, следовательно, и применимость указанных формул для численных расчетов решения определяется гладкостью начальных функций и .

Задача 2.Исследовать изменение температуры в точке в момент времени в рамках уравнения теплопроводности. Выделить мажоранту и миноранту полученного ряда.

Решение: Уравнение теплопроводности.

Рассмотрим уравнение теплопроводности

в области , , (2.1)

при граничных условиях , (2.2)

и начальных условиях (2.3)

Здесь – постоянный коэффициент теплопроводности, – искомая температура в точке в момент времени , – заданная температура в начальный момент времени.

Разбор одного варианта. Рассмотрим решение уравнения колебания струны

в области , , (2.4)

при граничных условиях , (2.5)

и начальных условиях , , (2.6)

где . (2.7)

Решения рекомендуется получить в виде ряда Фурье.