Приведение системы дифференцированных уравнений для заданной вероятностной модели предприятия

Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений построенной по вероятностной модели предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем». Данная модель примет вид на рис.1.2.

Рис.1.2. Модель обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Где система ― приемная. Обработка поступающих заявок.

Система ― производственный отдел №1.Обслуживаются заявки, поступившие из Гродненского, Щучинского, Берестовикого района.

Система ― производственный отдел №2. Обработка заявок, поступивших из Волковыского, Свислочского, Мостовского района.

Система ― производственный отдел №3. Обработка заявок, поступивших из Слонимского, Зельвенского, Дятловского района.

Система ― производственный отдел №4. Обслуживаются заявки, поступившие из Лидского, Вороновского, Ивьевского, Новогрудского района.

Система ― производственный отдел №5. Обслуживаются заявки, поступившие из Сморгонского, Островецкого, Ошмянского, Корелического района.

Система ― расчетно-сметная группа. В обязанности входит: составление сметы работы, заключение договора с клиентом.

В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю, а интервал моделирования 1 год (52 недели). Под заявкой в системах будем понимать заявление на услугу предприятия. В системе под заявкой понимается договор заключенный с предприятием и клиентом на оказание услуг предприятия. Под СМО понимаются отделы предприятия, оказывающие услуги населению.

Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями описанная в главе 1 пункт 1.2 примет вид:

(1.7)

Определим явную форму уравнений (1.7) в областях линейности их правых частей, тогда приходим к системе (1.6), при :

где Здесь непересекающиеся множества индексов компонент вектора

Причем при фиксированном число всевозможных разбиений множества индексов компонент этого вектора равно Система (1.7) решается в каждой из областей разбиения фазового пространства:

и т.д.

Для нахождения среднего относительного числа заявок необходимо рассмотреть систему (1.7) в области , где она примет вид при :

(1.8)

Исследуем, работу предприятия на интервале времени . Предположим, что интенсивности поступления заявок каждого из типов с учетом времени года описываются функциями вида:

(1.9)

На интервале времени система уравнений (1.8) превращается в систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(1.10)

Следовательно, на интервале вид системы ДУ аналогичен (1.10), если заменить в ней на Для интервала вид системы ДУ будет аналогичен (1.10), если заменить в ней на Аналогичным образом поступаем и для интервала в ДУ (1.10) заменяем на

Решение системы (1.10) с начальным условием был использован математический пакет Wolfram Mathematica 7.0.

Для того чтобы система (1.10) находилась в области на интервале , необходимо выполнение неравенств:

(1.11)

При изменении интенсивности в момент времени возможны следующие случаи:

1) удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

2) не удовлетворяет (1.11) – произошел переход другую область.

3) удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

4) не удовлетворяет (1.11) – произошел переход другую область.

5) удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

6) не удовлетворяет (1.11) – произошел переход другую область.

.

Для решения поставленной задачи (1.10) на интервале , когда система остается в области . Система уравнений в этом случае будет иметь вид (1.10), если заменить соответственно на . Начальными условиями для нее будут . Для того чтобы система находилась в области на временном интервале , необходимо выполнение условий:

.

Осталось рассмотреть решение задачи (1.10) на интервале , когда система останется в области . Система будет иметь вид (1.10), если заменить соответственно на . Начальными условиями для нее будут . Для того чтобы система находилась в области на временном интервале , необходимо выполнение условий:

.

Решение системы производится в математическом пакете Wolfram Mathematica 7.0. Приложении 1.