Лабораторная работа №7

С помощью кубической сплайн интерполяции найти приближенное значение функции при заданных значениях аргумента.

Физическая задача №2

Известно, что электрическое сопротивление металлов увеличивается с ростом температуры, а сопротивление полупроводников уменьшается. В узком интервале изменения температуры соответствующие зависимости обычно апроксимируются формулами

(1)

Рассмотрим две задачи интерполяции. При линейной зависимости практически никаких серьезных проблем не возникает. Поэтому обратимся к случаю с экспоненциальной зависимостью.

В качестве первой задачи рассмотрим проблему составителя таблиц. Полагаем, что составитель таблицы желает определить шаг по температуре, который обеспечит при квадратичной интерполяции заданную погрешность . Для решения поставленной задачи необходимо воспользоваться мажорантной оценкой для погрешности интерполяции по формуле Лагранжа

. (2)

В этой формуле на интерполируемом участке, а . Вместо аргумента в нашем случае выступает температура. Будем рассматривать случай квадратичной интерполяци ( ) с помощью трех значений . Максимум третьей производной от на интервале от до равен , а максимум . Используя эти значения, получаем для вычисления относительной погрешности неравенство

. (3)

Задавшись конкретными значениями , из этого неравенства находим требуемый шаг по температуре. Например, при , находим, что требуемая точность будет удовлетворена при

Перейдем к рассмотрению второй задачи интерполяции, считая, что нам задана таблица с постоянным шагом интерполирования для (n+1) значений температуры. Кроме того, полагаем, что мы совсем не знаем характера соответствующей зависимости. Заметим, что это типичная ситуация во многих случаях. Будем пользоваться квадратичной интерполяцией по трем ближайшим узлам. Задача заключается в оценке погрешности полученного значения. Для конкретности будем считать, что три ближайшие точки, как и в предыдущем случае, равны . Для оценки погрешности по формуле (2) требуется знание третьей производной. Ее можно оценить по формуле, аппроксимирующей эту производную по числовым значениям в четырех ближайших точках. Считая, что ближайшая четвертая точка соответствует , можем приближенно считать, что

. (4)

Это значение позволяет оценить погрешность интерполяции:

. (5)

Постановка задачи.Решить первую и вторую задачу интерполяции по описанному алгоритму, но для случая линейной аппроксимации.

Для первой задачи требуется найти шаг по температуре в интервале от 20 до 40 градусов, обеспечивающий относительную погрешность менее 1% для функции (j-номер варианта, номер студента в группе)

(6)

Для второй задачи даны три значения сопротивления, полученные по формуле

(7)

Требуется вычислить по линейной интерполяции сопротивление при температуре градус, сравнить его с точным, полученным по формуле (7), выяснить - согласуется ли полученное отклонение с оценкой погрешности при замене второй производной разностным отношением .