Методы Ньютона (касательных) и хорд

Для численного решения уравнения методами Ньютона и хорд необходимо, чтобы первая и вторая производные функции f(x) были непрерывны и сохраняли знак на отрезке [a,b], в котором заключен единственный корень x. Из условия постоянства знака первой производной следует единственность корня при на заданном отрезке, а из условия постоянства знака второй производной следует, что выпуклость функции не меняется на вогнутость и наоборот.

Метод Ньютона (метод касательных). Имеется некоторое приближение x_n точного значения корня x. Тогда можно записать , где добавку h_n считаем малой величиной. Используя разложение функции f(x) в ряд Тейлора около x_n до слагаемых первого порядка и приравнивая его к нулю, имеем: . Откуда .

Так как добавка найдена приближенно, то можно сказать, что вычислено новое приближение x_n+1 . Таким образом, получена итерационная формула для

В качестве нулевого приближения x₀ выбирается тот конец отрезка [a,b], который удовлетворяет соотношению .

В общем случае, для оценки точности e методом Ньютона недостаточно выполнения условия , однако оно становится применимым с ростом n (при ). Оценить точность можно, пользуясь общей формулой , где – наименьшее значение на отрезке [a,b].

Метод хорд. В методе хорд, в отличие от метода половинного деления, отрезок делится не пополам, а, что более естественно, пропорционально отношению . Если для определенности принять , , а за х точку, в которой производится деление отрезка, то . После преобразований получается: . После деления необходимо сдвинуть один из концов отрезка, так, чтобы корень оказался внутри нового отрезка. Неподвижным выбирается тот конец отрезка [a,b], который удовлетворяет соотношению ,где или . В итоге итерационная формула для метода хорд принимает вид:

при ,

при .

Итерации можно продолжать до тех пока , это автоматически означает, что .

Ниже представлены примеры уточнения корня уравнения , определенного при , .

Так как , , а на , то в качестве начальной точки для вычислений методом Ньютона необходимо выбрать . Таблица вычислений с помощью метода Ньютона выглядит следующим образом:

n				- /
	-11		-5183	0,666216
	-10,3338	308,0859	-4277,06	0,072032
	-10,2618	3,293492	-4185,82	0,000787
	-10,261	0,000389

Погрешность можно оценить из соотношения . Так как и на отрезке она монотонна, то .

В итоге погрешность уточненного корня не превышает величины .

Для того, чтобы уточнить корень данного примера с помощью метода хорд, необходимо зафиксировать конец отрезка . Таблица вычислений этим методом:

N
	-10	-1050	-11		0,766822
	-10,2332	-115,797			0,741941
	-10,2581	-12,1529			0,739339
	-10,2607	-1,26871			0,739067
	-10,2609	-0,13238			0,739039
	-10,261	-0,01381			0,739036

Погрешность в этом случае можно оценить из разности двух последних приближений, или аналогично тому, как это было сделано ранее для метода Ньютона.

Метод итерации.Суть этого метода заключается в том, что уравнение приводится путем тождественных преобразований к виду . Выбирая в области отделения корня начальное приближение x₀, получают следующее приближение , затем вычисляют и т.д.. Таким образом, итерационная последовательность вычисляется по рекуррентной формуле: . Если процесс сходится, т.е. существует предел , то , откуда . Следовательно предельное значение итерационной последовательности является корнем исходного уравнения.

Теорема о сходимости метода итерации.

Пусть определена и дифференцируема на отрезке [a,b], тогда, если существует число q такое, что при то:

1) Процесс итерации сходится независимо от начального значения .

2) Предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке [a,b].

При оценке достижения точности ε используется условие: , где на отрезке [a,b]. В частности, при это условие можно заменить на более сильное неравенство .

Для того, чтобы процесс сходился, можно искать из соотношения , где . k имеет тот же знак, что и .

Производная . Очевидно, что , так как отношение может принимать значения в диапазоне от нуля до двух.