Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), такие что x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂ и z₁ ≠ z₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки A(x₀, y₀, z₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x0
y = m t + y0
z = n t + z0

где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n} - координаты направляющего вектора прямой.

19. Две прямые могут иметь три варианта взаимного расположения друг к другу. Они могут совпадать, быть параллельны или же пересекаться. Для определения угла между прямыми наиболее интересным случаем является угол между скрещивающимися (или пересекающимися) прямыми.

Если две прямые имеют одну общую точку, то такие прямые называются пересекающимися. Точка пересечения делит каждую из прямых на два луча. Между лучами пересекающихся прямых образовываются четыре угла (два острых и два тупых). Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми – это наименьший угол (острый), образованный при пересечении этих прямых. Следует отметить, что, если известно значение одного из углов, можно легко найти значения остальных трех углов благодаря свойствам вертикальных и смежных углов.

Если прямые заданы следующими уравнениями:

A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0

тогда направляющие векторы этих прямых будут равны:

a₁ = (- B₁ ; A₁) и a₂ = (- B₂ ; A₂)

Воспользуемся формулой скалярного произведения двух векторов:

из этой формулы получим:

Выразим угол φ :

Из последней формулы получим:

20.

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость общим уравнением . Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , а . Если угол между векторами и тупой, то он равен .

Следовательно . Поэтому в любом случае . Применив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость общим уравнением .

Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю – условие параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример. Найти угол между прямой и плоскостью .

Решение. По условию , , тогда .

Из уравнения плоскости имеем, что нормальный вектор . Следовательно = Þ .