Параллельный перенос. Метод параллельного переноса

Задача 1

Постройте трапецию по заданным сторонам.

Анализ. Пусть трапеция АВСD построена, ВС= а, АD= b, AB= c, CD= d Выполним параллельный перенос, определяемый вектором СВ. Тогда сторона СD перейдёт в BD . Треугольник АВD можно построить по трём сторонам c, d, b-a (b>a).

Затем продолжим отрезок АD на D D = a. Через точку В проведем прямую, параллельную АD и на ней отложим отрезок ВС= а. Соединим точки С и D. Полученная трапеция АВСD – искомая.

План построения очевиден.

Доказательство. В четырехугольнике АВСD BC параллельна AD, значит ABCD – трапеция в которой AB = c, AD =b, так как AD= b – a + a. BD = CD = d.

Исследование. Треугольник ABD можно построить по трём сторонам, если c – d < b – a < c + d. При этом условии однозначно выполнимы и все остальные шаги построения. Если неравенство c – d < b – a < c + d не выполняется, то задача при выбранных данных не имеет решения.

Задача 2

Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между диагоналями.

Анализ. Пусть ABCD – искомый параллелограмм и АВ = а, ВС = b, угол между диагоналями равен α. Если выполнить параллельный перенос на вектор ВС, то ТВС(D) = D1. Тогда AD1 = 2b, РACD1 = a, D – середина отрезка AD1 и DC = а. Значит, точка С принадлежит геометрическому месту точек из которых отрезок AD1 виден под углом a, и окружности S (D; a).

Построение.

AD1 = 2b;

F1 – геометрическое место точек из которых отрезок AD1 виден под углом a;

D – серединаотрезка AD1;

S = S (D; a);

CОF1З S (D; a);

B = TDA(C).

ABCD – искомый параллелограмм.

Метод параллельного переноса.
В средней школе умножение движений не рас­сматривается, и мы не можем вводить параллельный перенос как произведение двух отражений около парал­лельных осей, а вынуждены исходить из свойств парал­лелограммов.
Целесообразно с параллельным переносом знакомить учащихся в процессе решения задач па построение при изучении темы «Четырехугольники».
Имеются задачи вычислительного характера и на доказательство, требующие проведения прямых, парал­лельных боковой стороне трапеции, или в которых уже проведена такая прямая, например:
1) В трапеции ABCD из вершины В проведена пря­мая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке Е с большим основанием АD. Периметр треугольника АВЕ равен 1м,а длима ED равна 3дм. Определить периметр трапеции.
2) Доказать, что в равнобедренной трапеции углы при основании равны. Для решения этой задачи учащиеся проводят прямую, параллельную боковой стороне, чтобы свести доказываемое предложение к свойству равнобед­ренного треугольника.
Но перенос части фигуры, искусственно отделенной от других элементов, для учащихся более сложен, чем пере­нос всей фигуры. Поэтому можно было бы начинать с ре­шения задачи, требующей переноса окружности. В этих задачах очень простое построение, так как фактически нужно перемещать в заданном направлении на данное расстояние лишь одну точку – центр окружности. Но при таком решении учащиеся не видят, как перемещаются точки окружности, ибо допустимо вращение окружности около центра, а это может привести к неправильному пониманию параллельного переноса. Например, в изве­стном пособии И. И. Александрова первым примером на метол параллельного переноса является задача: «Между двумя окружностями провести отрезок ХУ, делящимся пополам в данной точке А». Приведенное там решение показывает, что вместо параллельного переноса окруж­ности фактически выполнено отражение от точки А, ко­торое можно в данном случае рассматривать как про­изведение параллельного переноса и поворота окруж­ности вокруг своего центра на 180°.
Таким образом, при решении задач па построение мы применяем метод параллельного переноса, сущность ко­торого состоит вследующем: при анализе какую-нибудь фигуру подвергаем параллельному переносу на некото­рое расстояние в определенном направлении, в результа­те чего получаем вспомогательную фигуру, построение которой или очевидно, или не представляет затруднений. После этого производим обратный перенос и получаем искомую фигуру. Здесь же разъясняем, что параллель­ный перенос фигуры на некоторое расстояние означает, что все ее точки смещаются на одинаковое расстояние в определенном направлении. Следовательно, для опре­деления параллельного переноса нужно знать направ­ление и величину переноса. Параллельным перенос можно задать вектором переноса, которым одновременно определял бы и направле­ние и интервал данного переноса, но понятие вектора для семиклассников неизвестно, поэтому мы вынуждены выделять отдельно направление и величину переноса. В дальнейшем при решении всех задач па построение методом параллельного переноса требуем от учащихся указывать как направление переноса, так и расстояние, на которое перемещается каждая точка фигуры.

Параллельный перенос. Метод параллельного переноса

Пусть а₁ и а₂ – две параллельные прямые. Пусть Х – произвольная точка плоскости. Построим точку Х¢, симметричную точке Х относительно прямой а₁, а затем построим точку Х¢¢, симметричную точке Х¢ относительно прямой а₂ (рис. 16). Преобразование, которое сопоставляет точке Х точку Х¢¢ указанным образом, называется параллельным переносом.

Можно показать, что это преобразование обладает следующим свойством: все отрезки, каждый из которых соединяет две соответственные точки, равны, параллельны и направлены в одну сторону (каждый из них равен удвоенному расстоянию между а₁ и а₂). Другими словами, фигура F₁ преобразуется в фигуру F₂ так, как будто все точки фигуры F₁ перенесены по прямым, перпендикулярным осям, в направлении от а₁ к а₂ на расстояние, равное удвоенному расстоянию между прямыми а₁ и а₂.

Преобразование переноса имеет большое применение при решении задач на построение; оно также служит цели раскрытия свойств искомых элементов. При этом чаще всего выполняется перенос некоторых известных элементов фигуры.

Рассмотрим следующий пример.

Задача 7.Даны окружность О, две ее точки А и В и прямая а, от которой окружность отсекает хорду CD. Требуется найти такую точку М окружности, чтобы отрезок PQ хорды CD, заключенный между хордами АМ и ВМ, был равен данному отрезку b.

Анализ. Пусть задача решена и точка М найдена (рис. 17).

Если будет отыскана одна из точек P или Q, то просто отыскать и точку М. Поэтому пусть, например, точка Q – искомая.

Пока очевидно лишь одно свойство этой точки: QÌа.

Второе свойство пока не усматривается. Для выяснения этого свойства выполним параллельный перенос, определяемый вектором . Тогда точка А преобразуется в А¢, точка P – в Q. Рассматривая образовавшуюся фигуру, видим такое свойство точки Q: отрезок А¢В из нее виден под углом j, который измеряется половиной известной дуги AnB. Поэтому, если точка Qсуществует, то она является точкой пересечения прямой а и дуги сегмента, построенного на отрезке А¢В и вмещающего угол j. Рассмотрим теперь следующую метрическую задачу.

Задача 8. Построить четырехугольник, если известны три его стороны и два внутренних острых угла, прилежащих к четвертой стороне.

Анализ. Примем за известные вершины четырехугольника точки А и В (рис. 18). Тогда вершины С и D – искомые. Достаточно найти одну из них.Установим, например, свойства точки D. Очевидно, что DÌAD. Второе свойство точки D пока неочевидно.Выполним (определяемый вектором ) параллельный перенос отрезка ВС. Тогда ломаная АВD¢может быть построена, и становится очевидным второе свойство точки D: D принадлежит окружности (D¢, b).Дальнейший ход рассуждений ясен.Если в каждой из двух рассмотренных задач довести решение до конца, то мы будем иметь пример применения метода параллельного переноса в решении задач на построение.Во многих задачах на построение четырехугольников параллельный перенос быстрее приводит к цели, если заранее изучить основные свойства фигур, образующихся после определенного переноса некоторых элементов четырехугольника.

Введение

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» – эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.

Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение.

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке учащихся. Ни один вид задач не дает, пожалуй столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.