Устойчивость стержней с различными концевыми условиями их закрепления

Рассмотрим однопролетный у стержень постоянного поперечного сечения, по концам которого приложены сжимающие силы Р, всегда направленные параллельно оси недеформированного стержня. Помещая начало системы декартовых координат хуz в центре тяжести левого крайнего сечения. Ось z направим по продольной недеформированной оси стержня, а ось у — по направлению наименьшей жесткости поперечного сечения.

С целью введения различных условий закрепления в концевых сечениях стержня предполагается, что в новом равновесном (критическом) состоянии (2) в общем случае могут быть приложены поперечные силы и изгибающие моменты. Кроме того, концевые сечения могут перемещаться перпендикулярно оси недеформированного стержня и поворачиваться вокруг оси х (рис. 2.10.3).

Рисунок 2.10.3.

Дважды дифференцируя каждый член уравнения (2.10.1), получим дифференциальное уравнение, описывающее деформированное состояние рассматриваемого стержня в общем виде:

(2.10.7)

Общее решение которого имеет вид:

(2.10.8)

Составляя первые три производные от функции прогиба, составим выражение для углов поворота; изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих в произвольном сечении, расположенном на расстоянии от начала принятой системы координат:

(2.10.9)

Произвольные постоянные С₁, С₂, С₃, и С₄ определяются из граничных условий закрепления стержня. Очевидно, что произвольные постоянные в первоначальном, т.е. докритическом равновесном состоянии независимо от граничных условий закрепления стержня, тождественно приравнивают нулю, так как в первоначальном равновесном состоянии (1) (см рис. 2.10.3) имеем:

В новом равновесном (критическом) состоянии необходимо учесть, что независимо от граничных условий закрепления стержня произвольные постоянные С₁, С₂, С₃, и С₄ одновременно не могут быть равными нулю. Данное обстоятельство является необходимым и достаточным условием для определения нового равновесного состояния системы соответственно величинам критических значений внешних продольных сил Р.

Решим задачу по определению критической величины силы Р для стержней с различными концевыми условиями закрепления (рис. 2.10.4.).

Рисунок 2.10.4.

В случае, когда стержень с двумя концами шарнирно-оперт (рис. 2.10.4, а), граничные условия задачи имеют вид:

у(0) = у (l)= 0; М_Х (0)= М_Х (l)= 0.

Подставляя выражения прогиба и изгибающего момента соответственно из (2.10.8) и (2.10.9) в граничные условия задачи, получим

С₁ +С₄ =0;

;

;

.

Однако из третьего уравнения, а затем из первого уравнения последней системы легко установить, что в данном случае С₄ =0, С₁ =0, следовательно, алгебраическая система относительно неизвестных произвольных постоянных принимает вид:

Так как С₂ и С₃ не могут быть равными нулю в новом — критическом равновесном состоянии стержня, поэтому необходимо требовать, чтобы определитель последней системы однородных уравнений был равен нулю, т.е.:

или

Откуда следует, что sinkl= 0. Из решения последнего уравнения получим (n=1,2,3,…)

С учетом (2.10.2), при п = I, выражение наинизшего значения критической силы Р_кр окончательно определяется:

Последнее выражение, как нетрудно заметить, полностью совпадает с результатом решения задачи Эйлера.

Для стержня, изображенного на рис. 9.2.4 6, граничные условия задачи имеют вид:

у(l) = у¹ (l)= 0; М_Х (0)= 0; М_Х (l)= Ру₀ =EJ_xk²y₀

Подставляя выражения прогибов, углы поворотов и изгибающих моментов в граничные условия задачи, получим:

;

_;

;

.

Из третьего уравнения следует, что С₄=0. С учетом данного обстоятельства последняя система уравнений окончательно записывается в виде:

;

;

.

Откуда имеем:

Раскрывая определитель и после некоторых преобразований получим coskl=0.Наименьший корень данного уравнения является .

Выражение наинизшего значения критической силы Р_кр окончательно определяется:

Аналогично получаем наинизшее значение критической силы Р_кр для стержня на рис. 2.10.4,в:

.

И для стержня на рис. 2.10.4,г:

.