Аналитический метод определения реакций

 

Рассмотрим равновесие плит. На плиты действуют заданные силы P1, P2, F и пара с моментом M, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие Xa, Ya, Za, цилиндрического (подшипника) на две составляющие Xb, Zb (в плоскости перпендикулярной оси подшипника); реакцию N стержня направляем вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиты пространственной системы сил. При определении моментов силы F относительно осей разлагаем ее на составляющие F¢ и F¢¢, параллельные осям x и z (F¢=Fcosa, F¢¢=Fsina), аналогично поступаем и при определении моментов от реакции в стержне N, а затем применяем теорему Вариньона [3]:

 

SC		(1)
SY		(2)
SZ		(3)
SMxa(F)		(4)
SMya(F)		(5)
SMza(F)		(6)

Разрешив полученные уравнения относительно неизвестных, получим:

Подставим в аналитические выражения каждой неизвестной числовые значения всех заданных величин (P1=20 кН, P2=20 кН, F=20 кН, M=20 кНм, а=1 м, AD=3 м, AB=4 м, DC=2 м, a=60°, f=30°) и найдем искомые реакции.

Ответ: Xa=16,67 кН; Ya=14 кН; Za=40 кН; Xb= -10 кН; Yb=-6,3 кН; N=-19,25 кН.

Знак «-» указывает, что данные реакции направлены противоположно.

Главный вектор и главный момент системы сил

 

Система Mathcad позволяет определять реакции без нахождения аналитических зависимостей для выражения каждой неизвестной, т. е. решать задачи численным методом. Кроме того, система Mathcad открывает возможности реализации решения с использованием векторной формы представления сил и моментов, что позволяет значительно облегчить процесс составления уравнений и их решение. Для представления сил, действующих на систему в векторной форме достаточно задать их в проекциях или выразить через направляющие косинусы:

 

 

Координаты приложения действующих на систему сил, также должны быть представлены в векторной форме. Для рассматриваемого случая

 

Выразив момент силы, как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы, и используя Mathcad, можно определить и вывести результаты расчета момента сразу в проекциях на оси координат. В нашем случае, представление моментов сил в векторной форме и вывод результатов их расчета в проекциях, будет иметь следующий вид:

 

 

 

Приложенная к плите 1 пара сил с моментом М,

также может быть представлена в векторной форме:

 

 

Таким образом, используя векторную форму, можно непосредственно определить как главный вектор системы:

 

так и главный момент, не прибегая к дополнительным вычислениям: