Прямоугольная декартова система координат в пространстве

КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ

ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Степени и корни

Свойства степеней

Для любых , и и верны равенства: ; ; ; ; ; ; .

Формулы сокращённого умножения

Для любых , и верны равенства:

; ; ; ; ; ;

, где и – корни уравнения .

Свойства арифметических корней

Для любых натуральных и , больших 1, и любых неотрицательных и верны равенства: ; ; ; , ; ; ; ;

Неравенства

Свойства числовых неравенств

1. .
2. и .
3. для любого числа .
4. и .
5. и .
6. , причём и .
7. .
8. .
9. ; .

Свойства модулей

; ; ; ; .

Решение уравнений

Линейное уравнение . Решение: .

Квадратное уравнение . Решение: ; .

Теорема Виета: если , – корни квадратного уравнения , то ; .

Прогрессии

Арифметическая прогрессия .

– первый член прогрессии; – разность; – число членов; – -й член прогрессии; – сумма первых членов прогрессии; ; ; ; ; .

Геометрическая прогрессия .

– первый член прогрессии; – знаменатель ; – число членов; – -й член прогрессии; – сумма первых членов прогрессии; ; ; , ; . Если , то – сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Тригонометрия

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента

; , ; , ; , ; ; .

Формулы сложения (сумма и разность аргументов)

; ; ; ;

Тригонометрические функции двойного аргумента

; ; ; ; .

Тригонометрические функции половинного аргумента

; ; ; .

Преобразование суммы тригонометрических функций

; ; ; ; .

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

; ; ; .

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

; ; ; .

Формулы приведения

tg
ctg

Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: ;

Простейшие тригонометрические уравнения

; ; ; .

Частные случаи решения тригонометрических уравнений

; ; .

; ; .

; ; .

Обратные тригонометрические функции

; .

; .

; .

; .

Логарифмы

Если , то ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; модуль перехода к новому основанию: .

Производная

Правила дифференцирования

Пусть – постоянная, а и – дифференцируемые функции.

; ; ; ; ; (производная сложной функции).

Таблица производных

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Уравнение касательной к графику функции : , где – абсцисса точки касания.

Векторы

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Расстояние между точками и (длина вектора ): .

Координаты середины отрезка с концами и : .

Общее уравнение прямой . Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой имеет вид . Угловой коэффициент , где – угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох, а – значение ординаты точки пересечения прямой с осью Оу. Взаимное расположение прямых и : – условие параллельности прямых; – условие перпендикулярности прямых.

Уравнение окружности с радиусом и с центром в точке . Уравнение окружности с радиусом и с центром в точке .

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Расстояние между точками и (длина вектора ): .

Модуль вектора : . Сложение векторов и : . Умножение вектора на число : . Скалярное произведение векторов и выражается формулой: . Косинус угла между векторами и : .

ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

Произвольный треугольник

– стороны; – противолежащие им углы; – медианы; – высоты; – биссектрисы; – полупериметр; – радиус вписанной окружности; – радиус описанной окружности; – площадь треугольника.

; ; ; ; (формула Герона); (теорема косинусов); (теорема синусов); , (свойство медиан треугольника); (средняя линия треугольника); , где – отрезки, на которые биссектриса делит сторону (свойство биссектрисы треугольника); .

Прямоугольный треугольник

– катеты; – гипотенуза; – проекции катетов на гипотенузу; – высота; – полупериметр; – радиус вписанной окружности; – радиус описанной окружности; – площадь прямоугольного треугольника.

(теорема Пифагора); ; ; ; ; ; ; ; ; ; , ; ; .