Кусочно-определённые базисные функции

В рассмотренных ранее методах аппроксимации предполагалось, что базисные , входящие в разложение были определены одним выражением (одной формулой) на всей области , а интегралы в аппроксимирующих выражениях вычислялись сразу по всей области.

Альтернативный подход состоит в разбиении области на ряд подобластей или элементов и использовании базисных функций, определённых кусочным способом (с применением различных выражений для разных подобластей , из которых составлена вся область), и затем в построении аппроксимации отдельно на каждой области.

В этом и будет состоять основная идея метода конечных элементов.

Рассмотрим построение аппроксимации для произвольной функции , определённо на отрезке . Разобьем область на неперекрывающихся отрезков (элементов) точками (узлами)

.

Для приближения заданной функции будем использовать систему функций , каждая из которых представляет собой кусочно-линейную функцию

, (1)

где – длина отрезка.

Эти функции называются глобальными базисными функциями и обладают тем свойством, что отличны от нуля только в подобласти (только на элементах, примыкающих к узлу ), причем

Тогда, глобальную аппроксимацию заданной функции можно записать в виде

в , (2)

где – значение функции в узле . Постановка соответствующих значений в узлах гарантирует, что это представление автоматически принимает нужные значения в граничных точках отрезка.

На каждом элементе функция может быть выражена с помощью двух линейных базисных функций элемента

и . (3)

Тогда,

, на . (4)

На крайних сегментах

и . (5)

Функции (3) называют базисными или координатными функциями.

Например, для , определенной на построим кусочно-линейную аппроксимацию для системы узлов: , , , .

Пусть на отрезке заданная упорядоченная система несовпадающих точек . .

Определение. Сплайном называется определенная на функция, принадлежащая классу раз непрерывно дифференцируемых функций, такая, что на каждом промежутке , – это многочлен степени - . Разность между степенью сплайна и показателем её гладкости называется дефектом сплайна.

Построенная аппроксимация представляет собой сплайн первой степени дефекта один

.

Таким образом, аппроксимация кусочно-линейными функциями обеспечивает непрерывность и совпадение значений с аппроксимируемой функцией в узловых точках.

Предположим, что у аппроксимируемой функции известны не только значения в узлах, но и значения её производных. Например, требуется аппроксимировать кубическим сплайном функцию, которая, с производной, принимает в заданных точках отрезка значения

		………………..
		………………..
		………………..

Эта задача может быть решена непосредственно из заданных граничных условий. Однако на практике удобнее использовать приём, заключающийся в представлении всякого кубического сплайна линейной комбинацией четырёх простых специально подобранных базисных сплайнов , , , . Конкретно, подбирают так, чтобы их краевые значения на отрезке были, как указано в таблице.

Тогда искомая аппроксимация будет иметь вид

.

Построение самих базисных сплайнов для комбинации условий, даваемых таблицей, не является сложной задачей. Например, рассмотрим построение .

,

.

Учитывая краевые условия, получим систему уравнений

,

из которой, находим

.

Таким образом,

.

Аналогично получаем , , .

Построим аппроксимацию функции на отрезке по таблице