Комплексная форма представления сигнала.Формы представления комплексного сигнала

При математическом анализе очень часто вместо вещественных сигналов с целью упрощения математического аппарата преобразований данных удобно использовать эквивалентное комплексное представление сигналов. Так, например, в теории электрических цепей вещественная запись синусоидального напряжения

u(t) = U_o cos (w_ot+j)

заменяется комплексной формой записи:

, , при этом .

21. Векторное представление гармонического колебания приведено на рисунке. Радиус-вектор OE в первоначальный момент времени, при t=0, занимал положение OE1 . При увеличении времени он вращается против часовой стрелки и занимает положение OE2. Проекции вектора OE2 на ось абсцисс и на ось ординат, соответственно, равны

s1 (t) = OC = E cos ( t + ),

s2 (t) = OD = E sin ( t + ).

22.ВНИМАНИЕ: Сначала прочитайте ответ 23!

Аналогичный рисунок можно изобразить для синусоиды s (t) = E sin ( t + ) в комплексном виде:

В этом случае, радиус-вектор вращающийся по часовой стрелке должен быть повернут на 180о в соответствии с минусом перед вторым слагаемым в последней формуле. В результате этого сумма радиус-векторов будет равна нулю по действительной оси и равна удвоенному значению по мнимой оси.

23. Учитывая формулы Эйлера:

сигнал s (t) = E cos ( t + ) можно представить в комплексном виде

В соответствии с последней формулой, изображение косинусоиды (синусоиды) на комплексной плоскости представляет собой два радус-вектора с половинными амплитудами, вращающихся в противоположные стороны. Пример такого изображения косинусоиды представлен на рисунке. Отличие представленного примера от записанной выше формулы заключается в два раза большей амплитуде косинусоиды. По мере увеличения времени фазовый угол комплексного числа растет, и концы радиус-векторов описывают окружности с центрами в начале координат комплексной плоскости. При этом проекции радиус-векторов на мнимую ось будут равными по величине, но противоположными по знаку, что вызовет их взаимное уничтожение. Проекции радиус-векторов на действительную ось будут равными по величине.

24. За время t = t1 вектор повернется на угол ωt1 и окажется повернутым относительно горизонтальной оси на угол ωt1+y; его проекция на эту ось будет равна *cos(ωt1 + y) и т.д.

Таким образом, рассмотрение гармонических колебаний можно заменить рассмотрением вращающихся векторов. Для получения мгновенных значений в соответствии с вышесказанным условимся проектировать векторы на горизонтальную ось.

Следовательно, векторы, изображающие косинусоидальную и синусоидальную функции, взаимно перпендикулярны.

25. Радиотехнические цепи – это цепи, по которым распространяются и передаются сигналы, т. е. это электрические цепи с высокочастотными токами большого диапазона частот. Основными пассивными (т. е. не содержащими внутри источников энергии) элементами являются: 1) Активное сопротивление R – элемент, в котором происходит необратимая потеря электрической энергии:

т. е. закон Ома выполняется и для переменных токов; 2) Ёмкость – элемент, в котором протекание тока сопровождается накапливанием зарядов на обкладках; 3) Индуктивность – элемент, в котором протекание тока сопровождается переходом электрической энергии в энергию магнитного поля.