Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля

Рассмотрим сначала некоторые свойства волнового движения. Плоская монохроматическая волна с частотой и волновым вектором описывается формулой:

. (1.40)

– амплитуда волны, – фаза. Формула (1.40) - решение волнового уравнения

, (1.41)

– фазовая скорость волны, – оператор Лапласа. Уравнение (1.41) линейное, обладает свойствомсуперпозиции(сложения) решений. Линейная комбинация плоских волн, распространяющихся, например, вдоль оси x, и имеющих волновые числа (длины волн), непрерывно распределенные в интервале значений волнового числа шириной около некоторого фиксированного значения :

. (1.42)

Частота и волновое число связаны друг с другом дисперсионным уравнением: . Если интервал достаточно мал, то:

(1.43)

Ограничимся первыми двумя членами этого разложения. Тогда:

. (1.44)

Здесь: . Согласно (1.44) при суперпозиции плоских волн с волновыми числами, непрерывно распределенными в некотором интервале, возникает волновой процесс, который можно характеризовать «средним» волновым числом и частотой . Амплитуда этого процесса зависит от времени и координаты. Такое волновое образование - волновой пакет. Его фазовая скорость , групповая скорость . Изменение амплитуды пакета со временем и вдоль направления распространения определяется множителем , где . Этот множитель равен 1 при . При изменении он осциллирует с быстро уменьшающейся амплитудой, обращаясь в нуль при Рассмотрим «моментальный снимок» волнового пакета при t =0 В этом случае . Разность соответствует области, в которой максимальная амплитуда волнового пакета уменьшается до нуля. Эту область принимают за характеристику ширины волнового пакета. Пространственная протяженность волнового пакета определяется как . Это - ширина волнового пакета.Таким образом, . Если определять ширину волнового пакета не по первому обращению в нуль амплитудного множителя, а по второму, третьему и т.д., то

. (1.45)

Аналогично:

. (1.45a)

электромагнитное излучение наряду с волновыми свойствами обладает корпускулярными свойствами.

Согласно волновой теории закон преломления света определяется формулой Снеллиуса(1621) (рис.1.20):

. (1.46)

Здесь – фазовая скорость волны в «верхней» и «нижней» средах, – длины волн в этих средах.

С корпускулярной точки зрения частицы света изменяют свой импульс при переходе через границу раздела обеих сред (рис.1.21). Вектор импульса частицы разложим на две составляющие: – вдоль границы раздела, – перпендикулярно этой границе. Аналогично раскладывается вектор импульса во второй среде. Импульсы относятся к одной и той же частице, переходящей из одной среды в другую. Поэтому тангенциальная составляющая вектора импульса должна оставаться непрерывной на границе раздела:

. (1.47)

Тогда

. (1.48)

Здесь означают модули векторов . Ньютон считал, что корпускулы света являются классическими частицами . В таком случае формула (1.48) противоречит закону Снеллиуса (1.46). Для согласования корпускулярных представлений с законом Снеллиуса согласно (1.48), (1.46) необходимо считать, что , т.е. . Произведение имеет размерность действия (энергия время). Единственной постоянной с такой размерностью является постоянная Планка.

, (1.49a)

или в векторном виде:

. (1.49)

Это соотношение, а также формула для энергии фотона

(1.50)

отображают корпускулярно–волновой дуализмсвета. Идею о двойственной природе света впервые высказал Эйнштейн(1905).

Фотоэффект(внешний фотоэффект) - явление освобождения электронов с поверхности металлов под действием электромагнитного излучения.

, (1.51)

где – энергия фотона, – энергия отрыва электрона от атома (энергия ионизации), – работа выхода электрона за пределы поверхности освещаемого тела, – кинетическая энергия фотоэлектрона. Для металлов . Из (1.51) следует существование низкочастотного (красного) порога, или границы фотоэффекта, которая определяется из условия :

. (1.51a)

При частоте освещающего фотона фотоэффект невозможен.

Опыты Комптона(1922) непосредственно доказали существование фотона, как корпускулы света. В этих опытах исследовалось рассеяние рентгеновского излучения веществом, состоящим из легких атомов . наряду с исходной длиной волны возникает смещенная линия с длиной волны . В этом смещении состоит эффект Комптона:

. (1.52)

(1.52а)

комптоновская длина электрона. Комптоновская длина также . Объяснение этого эффекта (А. Комптон, П. Дебай, 1923), основывается на том, что рассеяние фотона представляет собой результат его столкновения с отдельным электроном (рис.1.22), при этом в каждом акте соударения предполагаются справедливыми релятивистские законы сохранения энергии и импульса:

(1.53)

Таким образом, многочисленные опытные факты показывают, что электромагнитное излучение обладает корпускулярными свойствами. Эти свойства связывают с квантами излучения – фотонами. Фотон невозможно расщепить. Вместе с тем фотон – это не обычная частица в классическом понимании. Фотон не является пространственно локализованным объектом и нельзя определить его положение в пространстве. Фотон движется со скоростью света, поэтому он не может находиться в состоянии покоя.

В 1924–1925 годах представления о том, что электромагнитное излучение обладает и волновыми и корпускулярными свойствами, получили общее признание в физике. В это время Луи де Бройль (1923) высказал гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм является общим свойством материи.Де Бройль предположил, что корпускулярно–волновой дуализм имеет универсальный характер. Тогда частице с импульсом p приписывается некоторая волна, длина волны которой определяется обращенной формулой (1.49а):

. (1.54)

Такая волна называется волной де Бройля.Плоская волна де Бройля

. (1.55)

По общему определению, фазовая скорость волны де Бройля равна:

. (1.56)

Используются релятивистские соотношения для энергии и импульса, , – скорость частицы. Групповая скорость волны де Бройля определяется формулой:

. (1.57)

Видно, что групповая скорость волны де Бройля совпадает со скоростью частицы. Из выписанных формул следует также, что для волн де Бройля, как и для световых волн, справедливо соотношение .

По правилу квантования Бора (1.17) с учетом (1.54):

. (1.58)

Отсюда следует: длина окружности боровской орбиты кратна длине волны де Бройля.

Для экспериментального обнаружения волн де Бройля необходимо оценить порядок их длин волн. При прохождении ускоряющей разности потенциалов V(В), электрон приобретает энергию . Тогда для длины волны де Бройля следует формула:

. (1.59)

При релятивистских скоростях электронов длина волны де Бройля определяется приближенной формулой:

. (1.59a