Незатухающие колебания чувствительного элемента

Во второй главе показано, что вектор горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли может быть использован для получения навигационной информации.

Во-первых, данный вектор горизонтален, находится в плоскости меридиана и является касательным к нему. Очевидно, что определение направления этого вектора дает возможность найти плоскость меридиана. Данную задачу и решают гирокомпасы.

Во-вторых, измерение модуля вектора ω₁ позволяет определить широту места. Такое определение выполняют некоторые типы инерциальных навигационных систем. В них измеряется величина ω₁ = Ω₁ (Ω₁ - приборное или измеренное значение горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли). Отсюда Ω₁ = ω _♀ cos φ. Полная величина угловой скорости вращения Земли известна, тогда φ = arccos Ω₁/ ω_♀.

Рассмотрим более подробно принцип работы гирокомпасов с непосредственным управлением.

Смещение центра тяжести чувствительного элемента гирокомпаса относительно центра подвеса - это первое условие превращения свободного гироскопа в гирокомпас. В параграфе 2.4.3 рассмотрено движение такого гироскопа на Земле. Для более подробного анализа реализации этого условия необходимо составить уравнения движения чувствительного элемента в горизонтной системе координат. Для этого воспользуемся уравнениями движения свободного гироскопа (2.1). Поскольку главная ось чувствительного элемента гирокомпаса всегда близка к плоскостям горизонта и меридиана, то углы α и β малы. Тогда tg β ≈ О, sin α ≈ α. Теперь уравнения примут вид

; (3.3)

Как рассматривалось в параграфе 2.4.3, вследствие вращения Земли гироскоп в горизонтной системе координат видимым образом движется в азимуте с угловой скоростью , а по высоте - с угловой скоростью . С появлением угла β, то есть с отклонением центра тяжести от вертикальной линии, проходящей через центр подвеса чувствительного элемента, появляется плечо (рис. 3.3)

DG = a sin β ≈ а β .

С появлением плеча возникает момент силы тяжести L_y = В β (см.(2.12)), называемый маятниковым моментом. Последнее обстоятельство приводит к прецессии гироскопа к западу:

ω_pz =-

Так как угол β мал, cos β ≈ 1, то проекция полученной угловой скорости на вертикаль равна ω_pz.

Рис. 3.3.

Угловая скорость прецессии в азимуте войдет в первое уравнение системы (3.3)

На движение гироскопа по высоте никакого дополнительного влияния не возникло. Окончательно уравнения примут вид

,

или

(3.4)

Получены дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента в горизонтной системе координат. Они с достаточной степенью точности характеризуют это движение как в азимуте, так и по высоте.

Такой же результат дает способ Кудревича, рассмотренный в параграфе 2.2. Просуммировав гироскопические моменты Н , Hω₂ и момент силы тяжести, приложенные по оси у, получим первое уравнение, а сумма гироскопических моментов по оси z дает второе уравнение системы (3.4). Малые члены уравнений исключены из рассмотрения заранее для упрощения преобразований.

Уравнения описывают незатухающие колебания гирокомпаса, характер и физический смысл которых изложен в параграфе 2.4.3.

Незатухающие колебания совершаются у положения равновесия, которое займет ось х чувствительного элемента, когда прекратится движение, то есть при = 0 и = 0. Подставив эти значения в уравнения (3.4), получим их частные решения:

(3.5)

Данные уравнения характеризуют положение равновесия главной оси гирокомпаса.

Анализ уравнений:

1. Главная ось гироскопа находится в плоскости меридиана. Она приподнята над плоскостью горизонта на угол β_r, что приводит к появлению момента Вβ_r. Наличие этого момента обеспечивает прецессию оси х гирокомпаса вслед за уходящим к западу меридианом:

ω_pz =-

2. Угол β_r зависит от широты.

Для нахождения общего решения уравнений движения (3.4) необходимо разделить переменные. Продифференцируем первое уравнение:

Из второго уравнения подставим значение и после преобразования получим

(3.6)

где

(3.7)

здесь ω₀ - круговая частота незатухающих колебаний. Причем ω₀ =В/Н и ω₀ = ω_♀ cos φ. Отсюда найдем период незатухающих колебаний как величину, обратно пропорциональную_частоте:

(3.8)

Из анализа уравнений следует:

1. Период незатухающих колебаний зависит от широты. На экваторе он минимален, на полюсе - стремится к бесконечности, что происходит вследствие потери гирокомпасом избирательности к меридиану.

2. Период Т зависит от параметров гирокомпас Н и В. Это дает возможность его регулировать.

Гирокомпас представляет собой автоматическую систему. Для ее оценки с точки зрения основ автоматики произведем линейное преобразование уравнения (3.6), считая = λ. Следовательно,

λ ² + ω₀² = 0 (3.9)

Выражение (3.9) является характеристическим уравнением и имеет мнимые корни

λ _1,2 = ±i ω₀ ,

где i = .

В соответствии с критериями устойчивости Гурвица система неустойчива, если корни характеристического уравнения мнимые. Переходный процесс имеет гармонический характер. Следовательно, гирокомпас совершает гармонические незатухающие колебания.

Общее решение уравнения (3.6) имеет вид

α = C₁cos ω₀ t+ C₂sin ω₀ t (3.10)

где С₁ и C₂- постоянные интегрирования.

Для начальных условий (t = 0) последний член уравнения равен нулю, а угол отклонения в азимуте максимален и равен α₀, то есть С₁= α₀. Тогда

α = α₀ cos ω₀ t (3.11)

Из анализа уравнения (3.11) можно заключить, что гирокомпас совершает незатухающие колебания с амплитудой, равной начальному отклонению главной оси чувствительного элемента от плоскости истинного меридиана. Величиной C₂ пренебрегаем ввиду ее незначительности.

Для нахождения закона движения главной оси гироскопа по высоте продифференцируем уравнение (3.11):

= -α₀ ω₀sin ω₀ t.

Подставив это значение в первое уравнение системы (3.4), получим

Для упрощения данного выражения произведем замену

Здесь все составляющие постоянны. Последний член уравнения равен β_r (см.(3.5)). После замены выражение примет вид

Уравнение (3.11) можно представить в виде

Воспользовавшись теоремой Пифагора, найдем текущее значение конца вектора чувствительного элемента для любого момента времени (рис. 3.3)

(3.12)

Это выражение является уравнением эллипса с центром α_r = 0, β = β_r и с полуосями: большой α₀, малой β₀. Это и есть траектория движения главной оси гироскопа. Анализ этого движения описан в параграфе 2.4.3.

Итак: выполнено первое условие превращения свободного гироскопа в гирокомпас. Хотя таким прибором пользоваться еще нельзя, так как он совершает незатухающие колебания, но эти колебания происходят вокруг известного направления - истинного меридиана, а говоря строже - направления вектора горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли.

Последнее уточнение рассмотрим подробнее. Маятниковый момент создается благодаря смещению центра тяжести гироскопа относительно центра подвеса, а также вследствие вращения Земли. В положении равновесия центр тяжести чувствительного элемента вращается в инерциальном пространстве вокруг вектора ω₁, совершая один оборот в сутки. Именно к его направлению и приходит главная ось чувствительного элемента. В свою очередь этот вектор находится в плоскости истинного меридиана. Следовательно, в частном случае, а именно - при неподвижном основании, когда гирокомпас участвует только в одном вращении - вращении Земли, он приходит в плоскость истинного меридиана.

Обратимся ко второму уравнению системы (3.4). Домножим все его члены на величину Н. С учетом вышесказанного второй член этого уравнения является моментом

R_z = Hω_♀+ cos φ α, (3.13)

который характеризует реакцию гироскопа с пониженным центром тяжести на его отклонение в азимуте от направления вектора ω₁ (то есть от плоскости истинного меридиана). Данный момент является гироскопическим моментом и возникает при движении гироскопа по высоте (рис.3.3). Движение по высоте вследствие вращения Земли происходит только в случае, когда α ≠ 0. Таким образом, R_z является направляющим моментом гирокомпаса. Анализ уравнения (3.13) позволяет сделать следующие выводы:

1. Направляющий момент может возникать только при вращении Земли. Это обязательное условие превращения свободного гироскопа в гирокомпас. На любой планете, не имеющей вращения, чувствительный элемент занимал бы неопределенное положение (ω_♀ = 0, R_z = 0).

2. Гирокомпас занимает также неопределенное положение и на полюсе (cos 90° = 0, R_z: = 0), вследствие потери направляющего момента. Фактически гирокомпас теряет избирательность к меридиану в широтах выше 75 85°, когда R_z становится малым и соизмеримым с вредными моментами. Гирокомпасы, установленные на подводной лодке "Ленинский комсомолец", совершившей плавание на северный полюс в 1962 г., по техническим условиям должны были работать до широты 85°. Фактически они потеряли чувствительность к меридиану в широте 86,5°. Это отмечено в воспоминаниях бывшего командира этой лодки Жильцова. Для гирокомпаса "Курс-4" и его модификаций предельная рабочая широта составляет 75°.

3. Направляющий момент обращается в ноль, когда гирокомпас в меридиане (α = 0, R_z = 0).

Итак, для превращения свободного гироскопа в гирокомпас в условиях вращающейся Земли нужно "связать" с нею гироскоп. Связь гироскопа с Землей осуществляется реализацией конструктивных решений. Для гирокомпаса "Курс-4" таким решением является снижение центра тяжести чувствительного элемента относительно центра подвеса. Это приводит к возникновению незатухающих колебаний, теоретический анализ которых приведен в настоящем параграфе, а графический - в параграфе 2.4.3.

Однако такой прибор еще не является гирокомпасом. Необходимо превратить его незатухающие колебания в затухающие. Для этой цели служит масляный успокоитель (жидкостный демпфер). Введение дополнительного устройства, масляного успокоителя, использующего в своей работе также силу тяжести, - это выполнение второго условия превращения свободного гироскопа в гирокомпас.

Билет № 8

Затухающие колебания

В любых автоматических системах гашение механических колебаний производится с помощью момента, сдвинутого от основного момента либо по фазе (по времени), либо в пространстве на 90°. В первом случае оба момента прикладываются по одной оси, во втором - по разным.