Разложение определителя по строке(столбцу)

Билет №1

Билет № 55

??????!!!!!!!

Билет № 54

Формула Тейлора.

Общий вид формулы Тейлора: , где - многочлен Тейлора. Для того, чтобы написать многочлен Тейлора степени n, необходимо наличие nпроизводных в точке . - остаточный член Тейлора. Остаточный член имеет различный вид в зависимости от требований. Наиболее часто употребляются форма Лагранжа и форма Пеано.

Форма Лагранжа.

Теорема 19.1

Пусть функция имеет n производных, непрерывных в окрестности точки и n+1 производную хотя бы в проколотой окрестности точки : , в . Тогда для любого x из проколотой окрестности существует такая точка c между x и , что .

Доказательство.

Рассмотрим подходящую вспомогательную функцию (G) , где A - некоторое число. Так как , то выберем число A так, чтобы , т.е. . Осталось доказать, что существует такая точка c между x и , что . Базируемся на следствии 2 теоремы Ролля (17.4). Имеем: , - тоже. Данное заключение вытекает из того, что функция отличается от функции только многочленом, который является непрерывным. Аналогично рассуждая, в . . Докажем, что . . . При этом, если , то данное равенство выполняется. Если же , то . Итак, при , если , то подставляем вместо z и получаем 0. Тогда для любого получаем . То есть все производные в точке обращаются в 0. Тогда . Данные утверждения удовлетворяют условию теоремы Ролля, а именно: , , непрерывны в , существует в . Значит, существует точка c такая, что , то есть . Следовательно, . Окончательно получаем, что . Теорема доказана.

Обозначая , можно записать данную формулу в виде: . Считая x независимой переменной или линейной функцией, можно записать данную формулу с использованием дифференциалов: .

Форма Пеано.

.

Теорема 19.2

Пусть функция и ее производные определены в окрестности , и n-ная производная непрерывна: . Тогда .

Доказательство.

Функция и производные непрерывны: , так как существует в окрестности . По теореме 19.1 . Так как непрерывна в , то , т.е. при . Таким образом, , так как c находится между x и , то при c также стремится к , следовательно, . Получаем: , .

Билет № 53

Билет № 52

Билет№51

Теорема 12. Пусть функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = Ф(x). Если функцииx=φ(t),y = ψ(t) дифференцируемы и φ'(t)≠ 0, тогда

Доказательство

Так как функция x = φ(t) имеет обратную функцию, то формально y можно выразить через x:y = ψ(Ф (x)). Так как функцияx = φ(t) дифференцируема, то, по теореме 5, функция t = Ф(x)также дифференцируема.

Используя правила дифференцирования, получаем

 

Билет № 50

Билет № 49

Определение: Если функция , непрерывна в точке и , тогда производная называется бесконечной производной.

Билет № 48

Билет № 47

Билет № 46

Билет № 45

Билет № 43

Билет № 44

Билет № 42

Лемма, понятие и графики элементарных фун-ции

Билет № 41

Билет №2

й

Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц:

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц:

det(A_n*B_n)=detA*debt

Теорема Лапласа

Пусть А=(a_ij)∈М_n, K∈N , 1<=k<=n-1выбраны произвольные к строк и к столбцов, тогдаdetAравен сумме всевозможных произведений миноров к-го порядка, расположенных в выбранных строках или столбцах, на их алгебраические дополнения.

Разложение определителя по строке(столбцу)