Формула Вейцзеккера для энергии связи ядра

С капельной моделью ядра связана полуэмпирическая формула Вейцзеккера для энергии связи ядра.

В первом приближении можно считать, что энергия связи ядра пропорциональна массовому числу А (2.3) (мы исключаем из рассмотрения самые легкие ядра):

(3.1)

В данном случае предполагается, что все нуклоны в ядре являются равноправными. Далее следует учесть, что нуклоны, которые находятся на поверхности ядра, притягиваются только с внутренней стороны ядра, а не со всех сторон, что имеет место для нуклонов в центре ядра. В связи с этим энергия связи ядра уменьшается на величину пропорциональную поверхности ядра. Поскольку , то энергия связи уменьшается на величину пропорциональную . С учетом этого и (3.1) получаем:

(3.2)

где - коэффициент пропорциональности.

Следующая поправка к энергии связи ядра связана с кулоновским расталкиванием протонов в ядре. Кулоновская энергия равномерно заряженной ядерной капли пропорциональна и обратно пропорциональна радиусу капли . Кулоновское отталкивание уменьшает энергию связи (3.2):

, (3.3)

где - коэффициент пропорциональности.

Формула (3.3) для энергии связи ядра объяснена в рамках капельной модели. Последующие поправки уже нельзя объяснить в рамках этой модели. Первая такая поправка связана с симметрией в строении атомных ядер. Для легких ядер число протонов примерно равно числу нейтронов. Это приводит к тому, что ядра, у которых , обладают наибольшей устойчивостью. Отклонение от данного равенства в ту или иную сторону приводит к уменьшению энергии связи. Нарушение равенства между протонами и нейтронами, в пользу последних, наблюдается для тяжелых ядер и обусловлено кулоновским расталкиванием протонов, которое учтено предыдущей поправкой. Следовательно, поправка, связанная с симметрией в строении ядра, может проводиться одинаковым образом для легких и тяжелых ядер. Эта поправка должна зависеть от разности и быть симметричной по числам и . Такой поправкой может являться . Данная поправка наилучшим образом соответствует эксперименту. С учетом этого энергия связи ядра

, (3.4)

где - коэффициент пропорциональности. Коэффициенты пропорциональности в формуле (3.4) находятся путем сопоставления с измеренными энергиями связи.

Как показывают измерения, энергия связи меняется скачкообразным образом при переходе от одного ядра к другому с соседними значениями и . Формула (3.4) не учитывает такой характер изменения энергии и дает для четно-четных ядер заниженное значение энергии связи, а для нечетно-нечетных завышенное. Для правильного описания энергии связи ядра вводят в формулу (3.4) еще одну поправку , где

.

С учетом данной поправки формула для энергии связи ядра приобретает вид:

. (3.5)

Коэффициенты пропорциональности, подобранные по экспериментальным данным, имеют значения:

.

Из данных значений следует обратить внимание на резкое отличие значения постоянной от типичного значения удельной энергии связи Удельную энергию связи , должно было бы иметь гипотетическое ядро больших размеров, состоящее из одинакового числа протонов и нейтронов, при отсутствии кулоновского взаимодействия между протонами.

Полная энергия ядра (масса):

, (3.6)

где массы протона и нейтрона выражены в единицах энергии (МэВ).

Формула (3.6) называется формулой Вейцзеккера. Данная формула хорошо описывает экспериментальные значения энергий связи. Однако она не объясняет результаты ядерной спектроскопии, магнитные моменты и спины ядер, существование особо стабильных ядер (магические ядра).