Метод комплексных амплитуд

Функции времени синус, и косинус объединяются общим термином - гармонические функции. Гармоническая функция – проекция точки, движущейся по окружности (Рис. 1.15).

Каждой точке гармонической функции на временной оси соответствует вектор, соединяющий соответствующую точку с центром окружности. Мгновенное значение напряжения записывается в форме уравнения

(2.1).

Гармонический сигнал характеризуют следующие параметры.

Амплитуда (U_m )- максимальное отклонение от состояния равновесия. При измерениях проще определить максимальный размах колебания – удвоенную амплитуду.

Действующее значение переменного напряжения U – среднее квадратичное значение из всех его мгновенных значений за период:

Круговая частота ω. За время, равное периоду Т вектор поворачивается на угол 2π , поэтому угловая частота ω определяется как отношение

(2.3)

Период повторения ( Т )– минимальный интервал времени, по истечении которого сигнал повторяет свою форму. Величина, обратная периоду – частота

Например, для сети 220 В, 50 Гц имеем: U = 220В, U_m = 311,13 В, ω=314 1/с.

В момент включения сигнала (начало опыта) синусоидальный сигнал имеет начальную фазу j. Исходное положение вектора показано на рис. 1.15. С течением времени вектор, отображающий гармоническую функцию, будет вращаться против часовой стрелки с круговой частотой ω.

Вектор, определяющий гармоническую функцию, перенесем на комплексную плоскость, осью абсцисс которой являются действительные () числа, а осью ординат – мнимые (). Действительно, рассматривая отрезок х (Рис. 1.15) как перпендикуляр прямоугольного треугольника, имеем: -1/х = х/1, откуда . В электротехнике мнимую единицу обозначают j, чтобы не путать с обозначением мгновенного значения тока. Заметим, что умножение комплексного числа на j поворачивает вектор против часовой стрелки на 90 градусов. Умножение на –j поворачивает вектор по часовой стрелке на 90 градусов.

Выполнение математических операций над соответствующими комплексными числами, вместо тригонометрических функций, упрощает расчет цепей переменного тока.

Вектор , соответствующий моменту времени t=0 имеет модуль (длину), равный амплитуде сигнала Um и начальную фазу φ .

- комплексная амплитуда, определяет амплитуду и начальную фазу гармонического сигнала.

(2.4)

Мгновенное значение напряжения в комплексной форме записывается с учетом вращения вектора от исходного положения против часовой стрелки с круговой частотой w,

(2.5)

При расчетах цепей переменного тока анализируют состояние схемы при t=0, и учитывают при этом комплексные амплитуды напряжений и токов.

Вращение векторов с круговой частотой ω учитывают при необходимости определения мгновенных значений токов и напряжений.

При вычислениях комплексные числа представляют в различных формах. Комплексное число можно представить в следующих формах:
алгебраической: ;
тригонометрической: ;
показательной .

Переход от одной формы записи к другой выполняется по очевидным формулам прямоугольного треугольника.

(2.6)

Алгебраическая форма удобна для выполнения суммирования или вычитания комплексных чисел, при этом суммируются (вычитаются) вещественные и мнимые части.

Умножение ( деление) могут выполняться в алгебраической форме, однако показательная форма удобнее, при этом модули перемножаются (делятся), а фазы суммируются (вычитаются).